数学建模课程建设与竞赛辅导浙江大学数学系杨启帆2011.7.2（一）浙江大学开展数学建模教学和 组织参加各种竞赛的情况简介n1982-1995 课程开设，数学系限定性选修 课，教材建设，1990年出版“数学模型”n1995-1999 扩大受教育面，开设各种必修 课、选修课 ：（1）竺可桢学院混合班必修 课（今年起改为荣誉课程）（2）竺可桢学 院工程高级班 （3）理科基地班必修课修课 （4）全校性选修课 （5）数学系必修课 （6）研究生学位课n1999-2004 创建名牌课程与数学建模实践基地国家理科基地创建精品课程项目（1999年）国家理科基地创建优秀课程项目（2001年）获浙江省教学成果一等奖（2000年）获国家级教学成果二等奖（2001年）被浙江省教育厅授予首批省级精品课程（2003年 ）被教育部授予首批国家级精品课程（2004年）数学建模方法与实践被立项为国家级教学团队（ 2008）我们的教学方法n普及教育：为新生举办讲座，激发学生的兴趣n课堂教学：为二三年级学生开课（周学时4-5不等）n课堂教学与学生建模实践活动相结合（SRTP项目，课 外课题研究），荣誉课程建设（三个转变）n数学建模教育与培训组织学生参加国内外大学生数学 建竞赛相结合（校内竞赛，全国竞赛、国际竞赛等）n教学内容改革与教材建设（包括教材建设、学生建模 基地与建模网站建设、教改项目的执行等）n兼顾创新性人才的培养与应用型人才的培养（竺可桢 学院-尖子学生的培养、全校选修-普及、独立二级学 院-应用型人才培养、研究生研讨班）n开设研究生学位课，开展较高层次的课题研究教学效果与教改收获n学生综合素质与科研能力得到了有效提高（每 年有上千名学生听课、提交科研论文或研究报 告数十篇，300多个队参加学校数学建模竞赛 ，大约25-30个队参加全国竞赛、10个队参加 美国竞赛，学生参与的积极性十分高涨，这些 学生的素质与能力在科研实践中迅速提高）n增强了学生学习数学知识和专业知识的兴趣（ 培养兴趣、提高能力、增长知识是大学教育的 主要任务）n为更高层次的人才培养输送了大批尖子学生（ 为国内外著名高校和科研机构提供了优秀生源 ，其中不少原先只是中等生）n培养了学生合作研究的习惯n学生参赛获奖（1999年以来）美国竞赛：特等奖4项（99、03、10、11）其中 INFORMS（美国运筹与管理学会）3项 ，国际一等奖 52 项 （2000、2001全部一等奖），二等奖 30 项全国竞赛：一等奖 34项（含高教社杯），二等奖 46 项 n出版教材：除较早期和边馥萍老师合作编写的“数学模型”外还有：（1）数学建模，1999（省重点建设教材），国家十五规划 教材，2006年6月出版，浙江大学出版社（2）数学建模竞赛-浙江大学学生获奖论文点评，2005年 7月出版，浙江大学出版社（3）数学建模，教育科学十五规划研究成果，2005年5月 出版，高等教育出版社（4）数学建模案例集，2006年7月出版，高等教育出版社 另有几本正在编写中（二）教学中注意对学生能力的培养n在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧 ：经验方法、量纲分析、比例关系的利 用、参数选取、房室系统、集中参数法 与分布参数法、工程师原则、统计筹算 率等等n基本技巧的灵活应用与经典模型的推广 ：从人口模型到多种群生态系统模型从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米n将课堂教学、课外实践、SRTP（毕业设 计）等项目指导、研讨班、竞赛培训及 组织竞赛有机结合起来，形成系列化教 学体系。（春节后开课、5月初校竞赛、 暑假后举办1次研讨班、暑假自行准备竞 赛、美赛前举办1次研讨）n加强学生实践环节的指导（鼓励学生研 究自己感兴趣的问题，如：蝉的共鸣、 紫金港校区路灯优化设计、杭州黄金周 旅游接待等）n注意对学生综合素质的培养（冰冻 三尺，非一日之寒，功夫在平时）（观察与发现能力），如： （例）数字的黑洞现象 任取一个能被3整除的数，如213 按如下运算：猜测自然也有可能猜错，例如欧拉方，费马数 （3，5，17，257,65537）等被猜错-猜测须证明（例1） 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？ 发散性思维能力的培养发散性思维能力的培养似乎条件不够哦 。换一种想法，问题就迎刃而 解了。假如他的妻子遇到他后仍 载着他开往会合地点，那么这一 天他就不会提前回家了。提前的 十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到 会合点，又从会合点返回相遇点这一 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 开5分钟。而此人提前了三十分钟到 达会合点，故相遇时他已步行了二十 五分钟。 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？例2 交通灯在绿灯转换成红灯时，有 一个过渡状态亮一段时间的黄灯 。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 马上要转红灯了，假如你能停住，请 立即停车。停车是需要时间的，在这 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 离 L。这就是说，在离街口距离为 L处 存在着一条停车线（尽管它没被画在 地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时 已过线的车辆，则应当保证它们仍能 穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动 后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对 司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过 长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大 ，可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二 定律计算出来 （ 留作习题）。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D ）/v。 D L例3 将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可 以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重 心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。 Zn(n 1)n(n 1)由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn= (n1) Zn 故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出 的总距离为 ，故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少 有点出人意料。有点出人意料。 发散性思维要有意义，科研要有目的，要尽量应用 已有的学科知识 ，但学科知识的应用有时是意 想不到的。 （例）循环图的连通性与gcd(a,n)=1之间 的关系）。举例gcd(2,7)=1， gcd(2,6)=2希尔密码设计古典密码不能改变字母出现的频率利用矩阵与向量相乘运算 困难：逆矩阵不能用于解密 想办法克服困难。（实例）取A = 则 (具体求法见后),用A加密THANK YOU,再用 对密文解密用矩阵A左乘各向量加密（关 于26取余）得 得到密文 JXCPI WEK解:(希尔密码加 密)用相应数字代替字符，划分为两个元素一组并表示为向量：（希尔密码解密） 用A-1左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。 (自行验证) 希尔密码是以矩阵 法为基础的，明文与密文的对 应由n阶矩 阵A确定。矩阵A的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字 母的字母数量相同，如果明文所含字数 与n不匹配，则最后 几个分量可任意补足。A-1的求法 方法1 利用公式 ，例如，若取 ，则 , , (mod26) ，即 方法2 利用高斯消去法。将矩 阵(A, E)中的矩阵A消为E， 则原先的E即被消成了A-1，观察猜测证明，科学研究的重要 途径之一（例1）设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。 A、B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。 现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。ABOrEFEF逻辑推理与证明能力逻辑推理与证明能力猜测证明如下： （方法一）显然， 由AE、EF、FB及AE，EF，FB围成 的区域 R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R 外的点，若不然，设 为最短路径，过R外的一点M，则 必存在直 线l分离M与R，由于路径是连续曲线，由A沿 到M，必交l于M1，由M沿到B又必交l于M2。这样，直线 段M1M2的长度必小于路 径M1MM2的长度，与是A到B的 最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。 不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧EF必在路径F上，又 直线段AE是由A至E的最短路径，直线FB是由F到B的最短 路径，猜测得证。ABO rEFEFM1M2Ml（例2）（交换座位奇偶数校验 ） n（问题的提出）一位老师正在上英语课，教室里共 有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐满了学生 。为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下 座位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在 原先座位的前后左右4个座位之一上，问学生应当 怎样交换座位？n（解答）这一问题是无解的，教室里共有63个座 位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会 发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶 数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定 坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量 不一样，所以无法交换。（例3） 拟将一批尺寸为124的的商品装入尺寸为 666的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入 的该商品正好充满包装箱。解 将正方体剖分成27个222的小正方体，并按下图所示黑白相间地染色。 再将每一222的小正方体剖分成111的小正 方体。 易见，27个222的正方体中，有14个是黑的， 13个是白的（或13黑14白），故经两次剖分， 共计有112个111的黑色小正方体和104个 111的白色小正方体。 虽然包装箱的体积恰好是商品体积的27倍，但 容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占 据4个黑色和4个白色的111小正方体的位置， 故商品不可能充满包装箱。 例如圆周率的计算（可以有多种方法：古典方法、分析方法、其他方法算法设计、计算速度，有效数字的概念等等，具体从略）（计算能力 ）要求学生会建模必须让他们掌握建模基本技巧n在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验 方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利 用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布 参数法、工程师原则、统计筹算率等n基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：从人口模型到多种群生态系统模型建模基本技巧的掌握（三种基本的双种群模型说明） 从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米（三）竞赛准备及注意事项（供参考）n组队应体现取长补短，准备应有分工（数学、算法、编程、软件使用等）。做题不在多而在精（我校一般要求每类至少各做2题）。不同基础的学生应当用不同方法培训 在做题过程中培养快速掌握未学过的知识的能力（MCM99C)n分析对比获奖论文的各种做法：（1）找出每一篇的闪光点（2）学习论文写作方法（各队可养成自己的写作习惯）n善于随时总结，找出出本队弱点，及时弥补盲点。（四）指导竞赛的几点经验教训1. 认