普通高中数学课程标准实验教科书必修4（A版）简 介人民教育出版社 章建跃一、本模块的教学目标1.通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会 三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的 作用。 2.了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其 运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决 数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解 决实际问题的能力。 3.运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式 ，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并 能运用这些公式进行简单的恒等变换。教学目标的变化 1.强调三角函数的描述周期现象的数学模 型的作用。 2.强调向量作为沟通代数、几何与三角函 数的工具作用，向量是高中数学的核心 概念之一。 3.不在三角变换的技巧上提过高要求。教学目标的变化 1.强调三角函数的描述周期现象的数学模 型的作用。 2.强调向量作为沟通代数、几何与三角函 数的工具作用，向量是高中数学的核心 概念之一。 3.不在三角变换的技巧上提过高要求。二、教科书结构三角函数定义、图象、性质、应用平面向量背景、概念、表示、运算和运算律、应用 三角恒等变换两角差的余弦基本公式的推导简单的恒等变换1.从定义、图象、性质等角度研究三角函 数，不再把三角变换穿插其中，使函数 的“味道”更浓。2.向量安排在三角变换之前，为推导两角 差的余弦公式作准备。 3.三角恒等变换独立成章，重点在基本公 式的推导和简单应用上 ，意在培养推理 和运算能力。结构特点三、“三角函数”简介1.三角函数的核心、思想方法 三角函数是刻画周期现象的数学模型，匀速 圆周运动是好背景。 角是“转”出来的，角的大小用单位圆的半 径度量与平面几何中角的概念有差异。三、“三角函数”简介1.三角函数的核心、思想方法 三角函数是刻画周期现象的数学模型，匀速 圆周运动是好背景。 角是“转”出来的，角的大小用单位圆的半 径度量与平面几何中角的概念有差异。 研究匀速旋转最本质、最简单的是研究单位圆 上的点（x，y）随旋转角的变化而变化的规 律，即研究x和y作为角 （弧度制）的函数 三角函数是圆的几何性质的代数表示。 研究1的过程：在一般函数概念指导下明确三角 函数的研究内容定义、图像与性质，但又 要注意其特殊性作为刻画周期现象的数学 模型； 研究的方法：充分利用单位圆，特别是利用圆 的对称性； 与锐角三角函数的“因袭与扩张”的关系。2.为什么用单位圆上点的坐标定义三角函 数？ （1）突出三角函数概念的本质； （2）简化定义形式，体现数学的从简精 神； （3）加强与几何的联系，便于后续学习 ，如性质的讨论及其应用等。3.充分发挥单位圆的作用（1）1弧度的大小； （2）任意角的三角函数定义： 任意角 点P的纵坐标正弦 任意角 点P的横坐标余弦 （3）三角函数的基本性质、图象、同角三角函 数关系式、诱导公式 三角函数的所有内容都可以借助单位圆的直观 进行讨论三角函数的基本性质与单位圆的几何性质 R=1 圆周长=2周期性 关于x轴对称cos(x)cos x，等 关于y轴对称cos(x)cos x ，等 关于原点对称cos(x)cos x ，等 关于直线y x对称 等4.函数y=Asin(x+)的图象 局部固定参数 （1）探索对ysin(x+)的图象的影响； （2）探索对ysin(x+)的图象的影响 ； （3）探索A对yAsin(x+)的图象的影响 ； （4）上述三个过程的合成。 具体到抽象归纳思想5.几个值得注意的问题（1）关注三角函数本质(起源于圆周运动的 周期函数），使学生获得研究周期函数的 基本思想方法； （2）关注数学内容的内在联系(数形结合)：三角函数关于圆与三角形的解析几何 数缺形时少直观，形缺数时难入微（3）关注研究方法类比、推广、特殊化 （化归）；（4）加强三角函数作为刻画现实世界周期变 化现象的数学模型的思想： 用已知的三角函数模型解决问题； 将复杂的函数模型转化为基本初等函数解决 问题； 建立精确的三角函数模型解决问题； 通过数学建模，利用数据建立拟合函数解决 实际问题：由给出的潮起潮落的变化数据，通过作散点 图，选择函数模型，建立函数模型，并用得 到的函数模型解决有关问题。 （5）准确把握教学要求： 加强：三角函数作为刻画现实世界的数学模 型，借助单位圆理解三角函数的概念、性质 ，以及通过建立三角函数模型解决实际问题 等。 削弱：删减任意角的余切、正割、余割，三 角函数的奇偶性，已知三角函数求角，反三 角函数符号，对三角函数周期性的一般讨论 作为选学内容，任意角概念、弧度制概念、 同角三角函数的基本关系式、诱导公式等都 降低了要求。 四、“平面向量”简介1.目标与定位目标：理解平面向量及其运算的意义， 能用向量语言和方法表述和解决数学、 物理中的一些问题。定位：沟通代数、几何与三角函数的一 种工具“工具性”。2.内容的结构顺序向量的实际背景及基本概念向量的线性运算平面向量基本定理及坐标表示向量的数量积向量应用举例3.向量法 利用向量表示空间基本元素，将空间的 基本性质和基本定理的运用转化成为向 量运算律的系统运用： 点（以确定点为始点的）向量； 直线一个点A、一个方向a定性刻画 ；引进数乘向量ka，可以实际控制直线 ； 平面一个点A、两个不平行（非0）向量a ，b在“原则”上确定了平面（定性刻画）；引入向量的加法a+b，平面上的点X就可以表 示为a+b（以及定点A）而成为可操纵的对 象（定量刻画）； 距离和角是刻画几何元素之间度量关系的基 本量引进向量的数量积的定义ab=|a|b|cos，作为反映向量的长度和两个向量间夹角的关 系。向量法：“三步曲”向量几何不依赖于坐标系的解析几何（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问 题转化为向量问题找好基底，所有几 何元素都用基底表示； （2）通过向量运算研究几何元素之间的关系 ，如位置关系、距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。4.值得注意的几个问题焦点：如何提高向量教学的思想层次（1）突出向量的物理背景与几何背景； （2）强调向量作为解决现实问题和数学问题的 工具作用； （3）强调向量法的基本思想，明确向量运算及 运算律的核心地位； （4）通过与数及其运算的类比，向量法与坐标 法的类比，建立相关知识的联系，突出思想 性。 向量及其运算与数及其运算的类比研 究内容及其方法的获得：向量的线性运算及运算律与数的加减及 其运算律的类比；向量的坐标表示与数轴 上点表示数的类比；向量数量积的运算律 与数的乘法运算律的类比；向量法与解析 法的类比；等。五、“三角恒等变换”简介1.学习目标 (1)经历用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式的过程，进一步体会向量方法的 作用。 (2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差 的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在 联系。(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括 尝试导出积化和差、和差化积、半角公式， 但不要求记忆），通过这些基本训练，使学 生进一步提高运用联系的观点、化归的思想 方法处理问题的自觉性，体会一般与特殊的 关系与转化、换元思想、方程思想等在三角 恒等变换中的作用。(4)在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过 程中，发展推理能力和运算能力。2.关于两角差的余弦公式 几种推导方案的比较： （1）解决好“锐角问题”，任意角的推广让 学生完成； （2）用好单位圆的旋转对称性； （3）直接用向量法推导； （4）从“锐角问题”引出一般公式的猜想， 再用“向量法”证明；等。选择第4种方案的理由 相对而言，从锐角问题入手，学生感受比较 亲切些、自然些； 有一个从特殊到一般、从具体到抽象的过程 ，是数学常用的思维方式； 把重点放在用向量法证明公式上，体现课标 意图，综合应用已有知识，思维训练的量还 是够的。选择这一方案的可能代价 三角函数的几何背景大大减弱； 在解决锐角问题时，“特殊情形”的选择并 不容易； 解决锐角问题时，可能导致教学目标的偏差 追求多种解决方法； 解决锐角问题并不容易几何的基础、找 等量关系、运算等都会遇到困难。3.需要注意的问题（1）精心设计教学过程，为向量法的引出做 好铺垫，在差角余弦公式的推导上舍得用些 课时； （2）三角变换包括：三角函数式的结构形式 变换、角的变换、不同三角函数之间的变换 等，注意与代数变换的类比； （3）推理、运算能力的培养有条理地思 维，类比、推广、特殊化等思考方法的应用 ； （4）不搞技巧性训练。欢迎批评指正谢 谢