铸件凝固温度场及其 凝固数值模拟概论北京科技大学钢铁冶金系 张家泉提 纲凝固传热基本原理 热传导过程的偏微分方程 凝固温度场的求解方法 1）数学解析法 2）数值模拟法 2）铸件凝固时间 3）凝固数值模拟应用举例凝固传热基本原理一）温度场基本概念 稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的 函数），其表达式为：T = f(x, y, z) 不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，并且也随时间 变化的温度场铸件凝固多属于带相变热释放与冷却传 热的非稳态温度场问题。T = f (x, y, z, t) 等温面：空间具有相同温度点的组合面。 等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。 温度梯度（ gradT ）：对于一定温度场，沿等温面或等温 线某法线方向的温度变化率。温度梯度越大，图形上反映 为等温面（或等温线）越密集。热传导过程的偏微分方程 三维傅里叶热传导微分方程为：式中: 导温系数， 拉普拉斯运算符号。 二维传热： 一维传热： 上述微分方程式是传热学理论中的最基本 公式，适合于包括铸造、焊接过程在内的 所有热传导问题的数学描述，但在对具体 热场进行求解时，除了上述微分方程外， 还要根据具体问题给出导热体的初始条件 与边界条件。 此外思考，凝固潜热在控制方程中是如何 体现？（温度回升法、折算比热法等）初始条件： 初始条件是指物体开始传热时（即 t = 0 时）的瞬时温度分布。（充填铸型后铸件冷却凝固开始时刻）边界条件： 边界条件是指计算区域的表面与周围介质间的热交换情况。常见的边界条件有以下三类 第一类边界条件： 给定物体表 面温度随时间的变化关系 第二类边界条件： 给出通过物 体表面的比热流随时间的变化 关系（包括对称、绝热面） 第三类边界条件： 给出物体周 围介质温度以及物体表面与周 围介质的换热系数 上述三类边界条件中，以第三 类边界条件最为常见。温度场计算的解析法 解析方法是直接应用现有的数学理论和定律去推导和演绎 数学方程（或模型），得到用函数形式表示的解，也就是 解析解。 优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表达式能够清楚地表达温度场的各种影响因素，有利于直观分析各参数变化对温度高低的影响。 缺点：通常需要采用多种简化假设，而这些假设往往并不适合实际情况，这就使解的精确程度受到不同程度的影响。目前，只有简单的一维温度场（“半无限大”平板、圆柱体、球体）才可能获得解析解。温度场计算的数值求解法 （凝固数值模拟） 数值方法又叫数值分析法，是通过对 传热控制微分方程的简化、然后利用 计算机编程，利用计算机求解简化后 的代数模型。得到的近似解也称数值 解。故又称为数值模拟或计算机模拟 。 常用数值化求解方法有： 差分法：是把原来求解物体内随空间、时 间连续分布的温度问题，转化为求在时间 领域和空间领域内有限个离散点的温度值 问题，再用这些离散点上的温度值去逼近 连续的温度分布。差分法的解题基础是用 差商来代替微商，这样就将热传导微分方 程转换为以节点温度为未知量的线性代数 方程组，得到各节点的数值解。 有限元法：是根据变分原理来求解热传导 问题微分方程的一种数值计算方法。有限 元法的解题步骤是先将连续求解域分割为 有限个单元组成的离散化模型，再用变分 原理将各单元内的热传导方程转化为等价 的线性方程组，最后求解全域内的总体合 成矩阵。铸件凝固温度场的解析解法 例：半无限大平板铸件凝固过程的一维不 稳定温度场 若实际三维铸件或其局部可以近似地认为是沿着界面的法 线方向一维热传导，这样就构成了半无限大平板铸件凝固 过程的一维不稳定温度场的求解问题。为简化问题、有利 解析法实现 假设： （1）凝固过程的初始状态为：铸件与铸型内部分别为均温 ，铸件的起始温度为浇铸温度T 10 ，铸型的起始温度为环 境温度或铸型预热温度T20 ； （2）铸件金属的凝固温度区间很小，可忽略不计； （3）不考虑凝固过程中结晶潜热的释放； （4）铸件的热物理参数 1 、c1 、1与铸型的热物理参数 2 、c2 、2 不随温度变化；（5）铸件与铸型紧密接触，无界面热阻，即 铸件与铸型在界面处等温（Ti）。显然，凝 固过程中，铸件与铸型中的温度分布符合 ：该一维非稳态传热微分方程通解为： 式中，C 、D为不定积分常数， erf (x)为高斯误差 函数，其计算式为： 其值可通过查表求得。误差函数的性质为： x=0, erf(x)=0,erf(-x)=-erf(x), erf()=1, erf(-)=-1. 对于铸件侧，有边界条件：x =0( t 0)时， T1 = T2 = Ti ，初始条件：t=0 时，T1 = T10 , 所以得（铸件侧温度分布）：同理可得铸型侧温度场方程式为：对于公式中的界面温度Ti，可以通过在界面处热流的 连续性条件求出， 即：上式中， b1 = 1 c1 1 ，为铸件的蓄热系 数； b 2 = 2 c 2 2 ，为铸型的蓄热系数。最后 可得铸件、铸型内温度分布的解析解为：半无限大平板铸件凝固过程的 一维不稳定温度场（温度分布） 其中忽略了可能很重要的界面热阻的影响！xTi铸件1 c1 1铸型2 c2 2T0图2-3无限大平板铸件凝固温度场分布T20T10铸件凝固时间 铸件的凝固时间：是指从液态金属充满型 腔后至全部凝固完毕所需要的时间。铸件 凝固时间是制订生产工艺、获得稳定铸件 质量的重要依据。 以前面简化分析的半无限大平板铸件为例 ，铸件凝固时间的估算方法有：1）解析法（理论法）： 因铸型温度分布为： 所以其温度梯度有： 铸型凝固时间 t 内导出的总热量：TiTT20T10铸型侧铸件侧至凝固结束时刻，铸件放出的总热量（包括潜热L）：根据能量守恒定律可得凝固时间的表达式： 对于大平板铸件，凝固层厚度 与凝固层体积 V1 、铸件与铸型间接触面积 A1 三者间满足关系式：令 （K 凝固系数，与铸件与铸型材料有关，可由试验定） 得凝固平方根关系： 或： 将V1与A1推广理解为一般形状铸件的体积与表面积 ，并令：可得一般铸件凝固时间的近似计算公式： R为铸件的折算厚度，称为“模数”。“模数法” 也称为“折算厚度法则”。 从传热学角度来说，模数代表着铸件热容量与散热表面积之间的比值关系，凝固时间随模数增大而延长。对于形状复杂的铸件，其体积与表面积的计算都是比较麻烦的，这时可将复杂铸件的各部分看作是形状简单的平板、圆柱体、球、长方体等单元体的组合，分别计算出各单元体的模数，但各单元体的结合面不计入散热面积中。一般情况下：模数最大的单元体的凝固时间即为铸件的凝固时间。凝固平方根定律的简单推导 及其在连铸凝固分析上的应用 简单推算：二冷喷水 冷却促进铸坯的凝固 速度和坯壳生长，根 据液相穴凝固前沿释 放的凝固潜热等于凝 固壳的传导传热原理 ，可得上式： 积分简化可得：进而有平方根定律：可见，二次冷却区坯壳的生长服从于平方根定律。由 于冷却水直接喷射到铸坯表面上，冷却强度较大，凝 固速度较快，当e=D/2时铸坯就全部凝固。式中涉及：钢的导热系数， kJ/ kg.C;坯壳厚度， mm;钢密度， kg/m3;凝固潜热， kJ/kg;（大多钢的潜热280左右）凝固前沿温度， C;铸坯表面温度， C;时间， min;凝固系数（mm/min1/2）取决于钢的成分、铸坯断面 和二次冷却强度。其不同铸机凝固系数数值一般在23-30 mm/min1/2之间。铸坯液芯长度的估算由上可知，由平方根定律可以近似估算铸坯的液芯 长度。液芯长度是弯月面至凝固终点（即坯壳厚 度为1/2铸坯厚度位置）的长度，设铸坯厚度为d, 则由平方根定律可知，到凝固终点时有如下关系 式：由上可得到连铸坯液芯长度L估算式为：其中Vc为拉坯速度。凝固系数K可按如下经验数值估算：实际生产中，对于裂纹敏感钢种，二冷常要采用弱冷方式 ，K值约为24-25 mm/min1/2；对于问裂纹不太敏感钢种，二冷比水量可较大，凝固系数K 值约为28 mm/min1/2。凝固系数的验证及其局限性拉漏铸坯的坯壳厚度的测量如下系列切片照片（自左到 右切片在铸机中的位置）。值得注意的是：凝固坯壳生产往往并不均匀，为什么？此 外，凝固传热条件的一维简化也有很大局限性！实际生产问题 及其解析的复杂性也正在于此！这将是凝固数值模拟与工艺设 计的主要研究内容。界面热阻问题与实际凝固温度场 上述关于铸造过程凝固温度场的分布以及凝固时间的讨论均将铸件与铸型的接触当作是理想状态下的紧密接触。而实际铸造过程铸件与铸型界面存在热阻。 热阻来源界面局部接触，有间隙铸型型腔内表面常存在涂料 实际界面接触状况与涂料状况对界面热阻大小 有重要影响。此外，实际铸件凝固过程常不能简化为一维稳 态导热，物性参数常是温度的函数、非线性。因此 用数值模拟求近似解的计算机数值模拟技术得到了 发展和应用！ 详参有关铸件凝固数值模拟专著，以及Pro- Cast等商业化凝固模拟软件介绍例：复杂铸件凝固计算机数值模拟1.选取计算域 2.选择合适的控制模型 与方程 3.计算域网格化（前处 理） 4.控制方程离散化 5.编制计算程序 6.计算机求解 7.计算结果表达（后处 理） 8.计算结果分析连铸过程传热与凝固的数值模拟（略）有兴趣同学可参考图书馆我校的大 量研究生论文。比如：结晶器内传热与凝固、连铸二冷传 热计算与配水等