第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-1返回宁波工程学院非非正弦周期电流电路正弦周期电流电路第十三章第十三章第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-2返回宁波工程学院 13-1 非正弦周期信号 13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数 13-3 有效值、平均值和平均功率 13-4 非正弦周期电流电路的计算目 录上页下页第2章 电阻电路的等效变换宁波工程学院返回13-1 非正弦周期信号第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-4返回宁波工程学院生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非 正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算 机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期 性的非正弦波形。非正弦周期信号正弦信号 周期信号非周期信号信号第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-5返回宁波工程学院l 非正弦周期交流信号的特点(1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化定义：随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-6返回宁波工程学院tT0t0T脉冲信号t0T矩形电压半波整流t0T磁化电流非正弦周期信号第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-7返回宁波工程学院例:半波整流电路的输出信号第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-8返回宁波工程学院例:示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-9返回宁波工程学院交直流共存电路Es +V例:第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-10返回宁波工程学院t0非周期信号第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-11返回宁波工程学院谐波分析法 这种方法称为谐波分析法。实质上是这种方法称为谐波分析法。实质上是把非正弦周期电流把非正弦周期电流 电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。首先，应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周首先，应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周 期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之 和；和； 根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独 作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量； 最后，把所得分量按时域形式叠加，得到电路在非正弦最后，把所得分量按时域形式叠加，得到电路在非正弦 周期激励下的稳态电流和电压。周期激励下的稳态电流和电压。 第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-12返回宁波工程学院周期信号非周期信号一系列频率 离散的正弦波傅 里 叶 级 数傅 里 叶 积 分分解叠加叠加一系列频率 连续的正弦波上页下页第2章 电阻电路的等效变换宁波工程学院返回13-2 非正弦周期函数分解 为傅里叶级数上页下页第2章 电阻电路的等效变换宁波工程学院返回设：f(t) = f(t + kT), k = 0,1,2, T 为周期Dirichlet conditionf (t) 在任一周期内绝对可积f (t) 在任一周期内具有有限个极值f (t)在任一周期内具有有限个不连续点满足满足一、 f ( t ) 展开成傅里叶级数第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-15返回宁波工程学院基波（和原 函数同频）二次谐波 （2倍频）高次谐波f ( t ) 展开成傅里叶级数直流分量第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-16返回宁波工程学院也可表示成：系数之间 的关系为第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-17返回宁波工程学院求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。系数的计算：第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-18返回宁波工程学院傅立叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分解为傅立叶级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地代表原有函数。但实际运算中只能截取有限项数，因此就产生了误差问题。误 差而截取项数的多少视精度要求以及级数收敛 的快慢决定，有时也要考虑到电路的谐振频率。 第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-19返回宁波工程学院ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-20返回宁波工程学院基波直流分量直流分量+基波三次谐波直流分量+基波+三次谐波第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-21返回宁波工程学院 工程应用t0T1常用函数的傅里叶级数 见教材P322的表13-1第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-22返回宁波工程学院取到13次谐波取到7次谐波取到5次谐波第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-23返回宁波工程学院二、 三种对称的周期函数的傅里叶展开式的特点 奇函数(odd function) 偶函数(even function) 奇谐谐波函数(odd harmonic function) 工程中常见的三种对称周期函数第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-24返回宁波工程学院系数特点傅里叶级数 奇函数(odd function)f (t)0t关于原点对称第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-25返回宁波工程学院系数特点傅里叶级数tf ( t )0 偶函数(even function)关于纵轴对称第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-26返回宁波工程学院f ( t )T0t傅里叶级级数系数特点 奇谐谐波函数半波横轴对称函数第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-27返回宁波工程学院t0Tt 0T11一个特殊的函数第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-28返回宁波工程学院由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数的傅立叶级数。在电子中为了直观地表示，常用频谱图表示。频谱描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为频谱图或频谱。 幅（值）度频谱：以频率为横坐标，AK 为纵坐标画出 的图形。 相位频谱：以频率为横坐标，K 为纵坐标画出的图形。三、信 号 的 频 谱第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-29返回宁波工程学院设：周期函数可展开为傅里叶级数幅值频谱: Akm ( k1)相位频谱: k ( k1 )频谱图第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-30返回宁波工程学院1 2 1 3141 k1 0Akm A1m A2m A3m A4m A0 幅 值 频 谱谱线由于各谐波的角频率是1的整数倍，所以这种频谱是离散的，有时又称为线频谱。第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-31返回宁波工程学院k 1 21 31 41 k1 0 2 2谱线频谱是离散的。相 位 频 谱矩形波的 谐波分量 和频谱上页下页第2章 电阻电路的等效变换宁波工程学院返回 13-3 有效值、平均值和平均功率第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-33返回宁波工程学院1. 有效值设周期电流 i 可展开为傅里叶级数：也称方均根值有效值可用该函数直接求有效值。 重要的是：寻找有效值和各次谐波的有效值之间 的关系。第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-34返回宁波工程学院Ikm k 次谐波分量的幅值Ik k 次谐波分量的有效值= 0第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-35返回宁波工程学院同理，非正弦周期电压 u 的有效值可写为非正弦周期电流或电压的有效值，等于它们的直流分量及各谐波分量有效值的平方之和的平方根可见注意：非正弦周期函数的第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-36返回宁波工程学院2. 平均值绝对值的平均值则其平均值定义为：若第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-37返回宁波工程学院二端 网络 N+ui利用三角函数的正交性，得：3. 平均功率第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-38返回宁波工程学院平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 注意：注意：z 只有同次谐波的电压、电流才构成平均功率，非同次的平均功率为零。上页下页第2章 电阻电路的等效变换宁波工程学院返回13-4 非正弦周期电流电路的计算第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-40返回宁波工程学院非正弦周期信号一、新问题用老方法谐波分析法谐波分析法 = 直流分析 + 相量法 + 时域叠加线性定常电路诸次谐波之和(直流分量)分解叠加原理可用直流分量单独作用直流分析法可用各次谐波分别单独作用的稳态解相量法时 域 叠 加可用第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-41返回宁波工程学院对于线性电路，可用叠加原理，即求出直流、基 波及各次谐波分量单独作用时的值，然后再叠加。 一般步骤： 将正弦周期函数展开成傅立叶级数（根据精度取前 几项。若是电压源，则各次谐波电压源串联在电 路上若是电流源，则各次谐波电流源并联在电 路上二、谐波分析法步骤第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-42返回宁波工程学院例 ：第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-43返回宁波工程学院2.分别求出直流分量及各次谐波分量电源单独作用下的响应注意： 各次谐波对电路中的阻抗是不同的； 直流分量（=0）时：电感为短路，电 容为开路。应用叠加原理，将上述求得的量进行叠加。注意：叠加时按瞬时值叠加，不同频率的量不能加减。第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-44返回宁波工程学院例： us 及电路如图所示已知：求：i ，I 和RLC支路吸收的平均功率。解：将us展开成傅氏级数并取到5次谐波为 止第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-45返回宁波工程学院第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-46返回宁波工程学院基波单独作用时：第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-47返回宁波工程学院三次谐波作用时 ：第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-48返回宁波工程学院五次谐波单独作用 时：第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-49返回宁波工程学院总响应 ：v 有效值 ：第13章 非正弦周期电流电路上页下页13-50返回宁波工程学院RLC支路吸收的平均功率 ：