期望、协方差、方差与相关系数张宏浩期望的一些性质协方差的定义协方差的一些性质独立意味着不相关方差是协方差矩阵的对角元多个随机变量之和的方差方差的一些性质切比雪夫不等式相关系数的定义相关系数的性质期望、协方差、方差与相关系数i尚z3张宏浩口E期望的一些性质以下是期望的一些性质(有些虫然是用二维连续型随机变量为例推得,但不失一航性):目c)五c,其中c为常数。国B(eX)五cE(X),其中c为常数国B(X十)二E(X)十E(X)。证明:E十3/山咖八J.史(一3/rZd虬工L/J十/d-Id嫖/(4r影)U二B(X)十口(Y)一结合前两个性质可得一寥们戈)二寥GECXi)其中c;都为常数留若丶和y独立,则B(XY)=E(X)E(Y)。证明由(z,4)(八(9)孙XY)二/Qrdyfx(a)兰(y)azy二/伽滁彻帅(/咖仰懈)五E(X)E(X)卜推广:若X,.,Xu独立,则史XXn)井万(XD).归(Xn)国Cauchy-Scbwarz不等式:ECXyJPB(XY)等号成立。协方差的定义文和丫的协方差(covariance)定义为cou(X;Y)世B(X-BX)(Y-PYVJ协方差还可以表示为cou(X,y)=E(CXY)-(BX)(BY)cou(X,Y)世(X一BX)(Y-BV)旦XY一YBEX一XBY十(BX)(BY)(XY)一2(BX)(BY)十(PX)(BT)二E(XY)-(BX)(EBY)【协方差的一些性质以下是协方差的一些性质:督cou(丶,个)井cou()。面cou(X,a)二0,其中a为常数。目cou(aX,57)=abcou(X;3),其中0;5为常数:国cou(X十Xa:y7)二cou(XX,Y)十cou(Xa,YZ)。证明:cou(十a三On十Xa)H-BCX+Xoj(BTJ井E(XnY十XaX)一B(X1)十B(Xaj|(BY)二BCnY)-BC)E(+BCXay)-BCXa)E(J二cou(Xi,Y)十cou(Xa,y)独立意味着不相关若丶和Y独立,则X和Y不相关即cou(X,Y)=0。证明:“由丶和Yy独立_二E(XY)=B(X)E(Y)水eoo(标卯)一(XKY)一(BX)(EY)二0注意:反过来些不成立,义和Y不相关cou(X,Y)=0一航不能推出X和Y独立。协方差可写成矩阵的形式,二维随机矢量(X,Y)的协方差矩阵是一个2x2对称矩阵:feooCKXcooC0)一删0工X)r】()工)同理,维随机矢量(X,Xa,.,X,)的协方差矩阵是一个nxn对称矩阵;coo(X,兰)couXcooCXuXcouCXa0)cou.cooCXa,Xcou一couCKo)couCKo5)cooCKoX)方差是协方差矩阵的对角元协方差矩阵的对角元就是方差,例如,cou(X,X)二上(X-BX闯二V(CX)。