成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 集合与函数的概念第一章1.3 函数的基本性质第一章1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时课时 函数的单调单调 性高 效 课 堂2课 时 作 业4优 效 预 习1当 堂 检 测3优 效 预 习1函数的三要素：_2函数的三种表示方法：_3二次函数yax2bxc(a0)顶点坐标为_ ，对称轴为_，a_0时开口向上，a_0时开口向下4一次函数yx的图象特征是：自左向右，图象逐渐_，y随x的增大而_知识衔识衔 接定义域、值域、对应法则解析法、图象法、列表法上升增大5二次函数yx2的图象特征是：自左向右，在(，0上，图象逐渐_，y随x的增大而_；在(0，)上，图象逐渐_，y随x的增大而_下降减小 上升增大下降减小下降减小1增函数和减函数自主预习预习增函数减函数 定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义 域I内某个区间D上的_两个自变量的值 x1，x2，当x1x2时，都有 f(x1) _f(x2)f(x1) _f(x2) 那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数区间D称 为函数f(x)的单调递增 区间那么就说函数f(x)在 区间D上是减函数 区间D称为函数 f(x)的单调递减区 间任意上升下降2单调性(1)定义：如果函数yf(x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的_(2)图象特征：函数yf(x)在区间D上具有单调性，则函数yf(x)在区间D上的图象是上升的或下降的增函数减函数单调区间归纳总结 基本初等函数的单调区间如下表所示：1函数yf(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2(a，b)，且x1x2，则有( )Af(x1)f(x2) Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)D以上都有可能答案 B预习预习 自测测20,3是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(1)f(2)，则函数f(x)在区间0,3上( )A是增函数B是减函数C不是增函数就是减函数D增减性不能确定答案 D解析 虽然1,20,3，12，且f(1)f(2)，但是1和2是区间0,3内的两个特殊值，不是区间0,3内的任意值，所以f(x)在0,3上的增减性不能确定3函数f(x)的图象如图所示，则( )A函数f(x)在1,2上是增函数B函数f(x)在1,2上是减函数C函数f(x)在1,4上是减函数D函数f(x)在2,4上是增函数答案 A高 效 课 堂如图为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的单调区间利用图图象求函数的单调单调 区间间互动动探究探究1.函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？探究2.单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？解析 函数的单调增区间为1.5,3)、5,6)，单调减区间为4，1.5)、3,5)、6,7据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间解析 由图象(1)知此函数的增区间为(，2，4，)，减区间为2,4由图象(2)知，此函数的增区间为(，1、1，)，减区间为1,0)、(0,1探究1.利用定义证明一个函数在某一区间上是单调函数的关键步骤是什么？探究2.当x1，x2(0,1)，且x1x2时，x1x2与1的大小关系如何？用定义证义证 明函数的单调单调 性规律总结 函数单调性的证明方法证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：求函数的单调单调 区间间探究1.求解析式确定的二次函数的单调区间应把握的关键点是什么？探究2.求函数解析式确定的单调区间应本着什么优先的原则？探究3.求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的应如何处理？规律总结 求函数单调区间的两个方法及三个关注点(1)两个方法方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解方示二：图象法，首先画出图象，根据函数图象求单调区间(2)三个关注点：关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接画出函数yx22|x|3的图象，并指出函数的单调区间分析 函数解析式中含有绝对值号，因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然后，逐段画图根据图象指出单调区间已知f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围探究1.若一个函数在某区间上是增函数，且f(x1)f(x2)，则x1与x2的取值有什么限制，两者之间的大小关系是什么？探究2.x2与1x在定义域内吗？函数单调单调 性的应应用探索延拓规律总结 函数单调性应用的关注点(1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断，证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围(2)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组)(3)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的已知函数f(x)的定义域为2,2，且f(x)在区间2,2上是减函数，且f(1m)f(m)，求实数m的取值范围若函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间是(，4，则实数a的取值范围是_错解 函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a，由于函数在区间(，4上单调递减，因此1a4，即a3.错因分析 错解中把单调区间误认为是在区间上单调解析 因为函数f(x)的单调递减区间为(，4，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a，所以有1a4，即a3.易错点 对单调 区间和在区间上单调两个概念理解错误误误区警示若函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上单调递减，则实数a的取值范围是_错解 函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a，由于函数f(x)的单调递减区间是(，4，因此1a4，即a3.错因分析 错解中把在区间上单调误认为是单调区间正解 因为函数f(x)在区间(，4上单调递减，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a，所以1a4，即a3.规律总结 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义(2015安阳一中月考试题)已知函数f(x)2x2mx3，当x(2，)时是增函数，当x(，2)时是减函数，则f(1)等于( )A3 B13C7D由m决定的常数答案 B当 堂 检 测1函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是( )A0,1B4，31,4C3,1D3,4答案 C解析 结合图象分析可知，函数图象在区间3,1是上升的，故其增区间是3,13已知函数f(x)82xx2，那么下列结论正确的是( )Af(x)在(，1上是减函数Bf(x)在(，1上是增函数Cf(x)在1，)上是减函数Df(x)在1，)上是增函数答案 B解析 由二次函数f(x)82xx2(x1)29的图象知B对，故选B.5若函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_答案 m16