问题:(1) 如何描述微观粒子的状态 ？ (2) 微观粒子的状态变化时应遵循什么样的运动规律 ？ Date11 波函数 一 . “波动性”与“粒子性”矛盾的分析 :1) 研究对象 - 微观粒子: 既不是经典意义上的粒子,也不是经典意义上的波. 例: 通过对光的认识过程可知, 光就是光-它既不是粒子也不是波. 2) “波动性”与“粒子性”的矛盾与分析: 历史上曾有过的错误认识: a) 波包: 夸大了波动性的一面, 从而实际上抺杀了粒子性的一面 - 有片面性. b) 波是大量粒子集体运动的表现: 这种观点夸大了粒子性的一面, 从而实际上抺杀了波动性的一面 而被实践证明是错误的.Date23) 分析: 现在的研究对象-微观粒子: 具有一定的质量, 电荷等属性被称为物质的“原子 性”, “整体性”或“粒子性”.但不是经典的粒子, 抛弃了“轨道”概念. 具有干涉, 衍射现象-本质上是波的相干迭加性. 但又不是经典的波, 具有明确的局域性.结论:1926年, 玻恩( M.Born )把微观粒子的“原子 性”和波的相干迭加性统一起来, 提出了“几 率波”的概念.4) 电子双缝衍射实验:目的:通过分析电子双缝衍射实验,寻找正确理解和认识象电子这样的微观客体的行为特征的途径.Date3名人名言Feynman认为: 这一实验设计的包含了量子力 学的一切秘密之处, 它把自然的疑难 , 特异和神奇性百分之百地摆在你的 面前.特点降低所发射的 电子束的强度,使其低到足以 分开每 一个事件.实验Date4A)电子是逐个到达荧光屏上的,所谓逐个的意思就是,对每 个事件在屏上只能观察到一个亮点而且各亮点涉及到的 范围很小,不会出现一大片光斑或光晕.(粒子性的表现)实 验 结 果B)只要时间足够长,就可记录下大量的事件结果会看到衍 射条纹.( 波动性的表现)C)为说明问题,实验按以下顺序进行:先只打开缝1并遮上缝2.开始对应于每个事件的亮点在屏上 出现的位置是随机的.但积累了大量事件后就可看到单缝衍射的 图样.反之亦然.当两个缝同时打开时 .开始亮点在屏上出现的位置仍是随机 的但积累了大量事件后就可看到的结果并不是中两个单缝衍 射的图样简单相加.而是双缝的衍射的图样.结论:既不是经典的粒子;也不是经典的波.Date5若以 来描述电子衍射花样的强度分布Date6A)相干迭加的结果充分显示了 微观粒子与经典粒子的区别. 若是经典粒子,如细沙粒或子弹,它们一个一个地穿过狭缝, 虽然两个缝都是打开的,但穿过缝2的粒子是无法感知缝1的 存在的,反之亦然.所以只能出现经典的结果. B)如何理解相干迭加的这一结果呢?试想遵循下面的推理:对 实 验 结 果 的 解 释某处衍射条 纹的强度该处附近 出现亮点 的次数打在该处 附近的电 子的数目一个电子在该处 附近出现的几率结论:以 描述电子衍射花样的强度分布 ,则 应正比于电子在该处附近出现的几率 .2Date7结论: (1) 函数(r) 在双缝衍射中对电子的状态具有重要意义, 即可以用(r) 来描写经双缝衍射后电子在到达屏上时所处的状态.(2) 使用(r) 的描述, 可以统一“波动性”与“粒子性”的矛盾-“几率波” 二.波函数:1) 量子力学中使用波函数来描述微观粒子的运动状态, 一般以(r,t) 来表示. 波函数本身它并不是一个力学变量-这是与经典力学的一个重要区别. -从一开始量子力学就与经典力学完全不同 它可以向我们提供被研究的微观粒子的各种力学量的取值及其变化的全部信息.Date82)波函数的几率解释: dW为微观粒子t 时刻在r 处附近r - r+dr 区间内出现的几率. 归一化条件: (r) 与C(r) (C为一常数)所描写的是同一个微观状态.A) “几率波”与经典波动有本质的不同:y0Cy0X对经典波动: 波动方程前乘 以C, 相当与波的振幅被放 大了C倍, 强度被放大了C2 倍, 因此它们是完全不同的 两个波.Date9B) 归一化系数:设(r,t) 为一个没被归一化的波函数, 若有常数C满足:其中或C被称为(r,t) 的归一化系数. 若有(r,t) =C(r,t) 且(r,t) 和 (r,t) 描述的是同一个状态. C) 波函数位相的不确定性: 当为实数时与描述的是同一个状态且都是归一化的现象被称为波函数位相的不确定性. Date103)波函数的标准化条件: 物理上要求：波函数满足单值、连续和有限的条件. 有限性它不排除对某些孤立点有:但04)自由粒子平面波的波函数:总体 思路由经典平面波波动方程的复数形式，利用 德布罗意关系式，把经典理论中描写粒子 性的物理量E和P揉入其中，形成自由粒子 的波函数的表达式。再去经受实践的检验。Date11其复数形式为：)/(2),(lnpxtiAetxy-=A）经典的沿X方向传播的平面波的波动方程：)/(2cos),(lnpxtAtxy-=波的 强度2AI 波的强度2A取其实部则可还原为其实数形式。 复数形式的优点：a)方便运算。b)初位相f以 的形式出现，因此可以被包含在复振幅A中。fieB) 自由粒子与平面波:自由粒子不受 外界作用, 其 动量为确定值德布罗意 关系式对应的波 频率与波 矢为恒定平面波Date12C）量子力学中自由粒子的波函数：)(0),(xpEti xetx-=h)/(2),(lnpxtiAetxy-=对 应 代 换 关 系量子力学经典力学 ),(txy),(txn频率hE /能量l波长xph /动量A振幅0复振幅量子力学中 自由粒子的 波函数Date13一般情况下的表示:特 点1)具有波动方程的形式. 2)包含经典理论中描述粒子特征的物理量 E 和 p在空间各点发现自由粒子的概率相同。这时粒子的动 量是完全确定的，但其位置就完全不确定。常数=2),(trr对自由 粒子波函数统计诠释涉及对世界本质的认识 争论至今未息哥本哈根学派爱因斯坦Date14设归一化因子为C，则归一化的波函数为 (x)= C exp(-2x2/2)（）取 0，则归一化的波函数为 (x)=（） exp(-2x2/2)例题：将波函数归一化 解:利用积分公式:得:Date15量子力学与经典力学Date1622 薛定格方程薛定格方程一.自由粒子薛定格方程的建立: 自由粒子波函数1)为讨论其随时间的变化两边对t求偏导得:2)它启发我们波函数随时间的变化与能量有关,而 对自由粒子有:Date173)注意到自由粒子波函数对坐标的导数是与动量 有关的, 即有:同理4)再由:同理Date185)所以有:6)把1)和 5)代入 2)的两边可得:-自由粒子波函数所满足的薛定格方程 该方程的特点: A) 是一个线性微分方程, 迭加原理适用. 若体系具有一系列不同的可能状态则也是其可能的状态 B) 方程系数中不包含与微观粒子状态有关的参量. Date19Date20例：能量、动量和坐标算符对沿x方向传播自由平 面波波函数的作用Date21利用对应关系得“算符关系等式 ” 把“算符关系等式”作用在波函数上得到2) 三维情况：二.一般情况下的薛定格方程: 1) 一维情况：其中：Date22利用对应关系得“算符关系等式 ” 把“算符关系等式”作用在波函数上得到该方程于1926被Schdinger首次给出, 并为 此荣获1933年诺贝尔物理奖.Schdinger方程是非相对论量子力学的基本 动力学方程.其在量子力学中的地位与牛顿定律在 经典力学中的地位是相同的.Date23三. 定态薛定格方程: 1) 定态薛定格方程 A)分离变量: 若在所研究的问题中 U=U(r)与时间t无关, 则可设: (r,t)=(r)f(t) 对薛定格方程分离 变量可得: 其中E为常数. B)本征值与本征值方程: E为算符 或 的本征值而上述方程被称为该算符的本征值方程. Date24C)与时间有关部分的解: 由方程 可解出: D)定态:这时 在这种状态下微观粒子在各处出现的几 率与时间无关 - 因此被称为定态 被称为定态波函数. E)定态薛定格方程:方程被称为定态薛定格方程.Date25定义:对定态情 况时有:这里 被称为系统的哈密顿量.定态薛定格方程也可表示为:这时E被称为H的本征值,而(r)被称为H的本征函数.2) 多粒子系统的定态薛定格方程:研究对象: 总粒子数=N, 粒子的质量mi(i=1,2,3N)Date26粒子间的相互作用势能为:外场与粒子间的相互作用势能为: 若V与Ui都与时间无关,则我们可以研究其定态问题.以 表示系统的定态波函数 . A)波函数: 其物理意义为: 归一化条件为: Date27C)多粒子系统的定态薛定格方程: 这里的E就是该多粒子系统的能量本征值. B)多粒子系统的哈密顿量: 经典力学: 量子力学: Date28微观粒子的状态可用波函数来描写, 而 波函数随时间的演化遵从薛定格方程:Date29