第五章 状态反馈和状态观测器1. 状态反馈及极点配置 2. 系统的镇定问题 3. 状态观测器 4. 带有观测器的状态反馈系统Date1第一节 状态反馈及极点配置1.1. 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈2.2. 状态反馈极点配置条件和算法状态反馈极点配置条件和算法 3.3. 状态反馈闭环系统的能控性和能观测性状态反馈闭环系统的能控性和能观测性Date2将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。一、状态反馈一、状态反馈反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种 ）原受控系统 ：线性反馈规律：Date3状态反馈闭环系统：反馈增益矩阵：状态反馈闭环传递函数矩阵为：一般D=0，可化简为：状态反馈闭环系统表示：状态反馈系统的特征方程为：Date4原受控系统 ：二、输出到参考输入的反馈（又称为二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈输出反馈）将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为 受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：Date5输出反馈增益矩阵：闭环传递函数矩阵为：结论结论3 3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可 观测性。结论结论1 1：当HCK时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。 即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈， 即KHC。故输出反馈不改变系统的能控性。结论结论2 2：对于状态反馈，从KHC中，给定K值，不一定能够解 出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一 定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。Date6原受控系统 ：三、输出到状态微分的反馈三、输出到状态微分的反馈将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。 这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。输出反馈系统状态空间描述为：Date7极点配置极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。四、状态反馈极点配置条件和算法四、状态反馈极点配置条件和算法1 1、极点配置算法、极点配置算法(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。1 1）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵K K（维数较小时，维数较小时，n 3n 3）定理定理：(极点配置定理) 对线性定常系统 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是： 状态完全能控。注意：注意：矩阵 的特征值就是所期望的闭环极点。对 不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。Date8(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。(4)由 确定反馈矩阵K： 解解 ： （1）先判断该系统的能控性 例例11 考虑线性定常系统其中：试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2j4和-10。Date9该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。（2）计算闭环系统的特征多项式设状态反馈增益矩阵为：（3）计算期望的特征多项式Date10由 得（4）确定K阵求得：所以状态反馈矩阵K为： 例例22 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响 解解 ： （1）先判断该系统的能控性由对角线标准型判据可知，特征值为1的状态不能控。(2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：Date11从中可以看出，对于1的极点，状态反馈不起作用，状态反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控部分状态，不能任意配置其极点。求 将相等繁琐，所以引入第二能控标准型法。2 2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n3n3）1、首先将原系统 化为第二能控标准型2、求出在第二能控标准型的状态 下的状态反馈矩阵3、求出在原系统的状态 下的状态反馈矩阵Date12证明：原系统：第二能控标准型：其中：式（1）和式（2）比较，得：Date13第二能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。能控标准型下，加入状态反馈后，系统矩阵为： 第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式及第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式及 Date14第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为：根据期望闭环极点，写出期望特征多项式：由 ，可以确定第二能控标准型下的反馈矩阵为：Date15(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。(2)确定将原系统化为第二能控标准型 的变换阵 若给定状态方程已是第二能控标准型，那么 ，无需转换 第二能控标准型法，求反馈增益矩阵第二能控标准型法，求反馈增益矩阵K K的步骤：的步骤：系统不变量：Date16(3)根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式：(4)直接写出在第二能控标准型下的反馈增益矩阵：(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：还可以由期望闭环传递函数得到：第二能控标准型法，非常适合于计算机matlab求解期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标：如超调量 和调整时间 等）Date17 例例 用第二能控标准型法用第二能控标准型法 ，重新求解前面例，重新求解前面例1 1：（2）计算原系统的特征多项式： 解解 ： （1）可知，系统已经是第二能控标准型了，故系统能控 ，此时变换阵（3）计算期望的特征多项式（4）确定K阵所以状态反馈矩阵K为：第二能控标准型下的状态反馈矩阵为：Date183 3）爱克曼公式）爱克曼公式(Ackermann(Ackermann公式法公式法) ) （维数较大时，（维数较大时，n3n3）为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：其中 是A满足其自身的特征方程，为：推导过程：略 此方法也非常适合于计算机matlab求解Date19 例例 用爱克曼公式，用爱克曼公式， 重新求解前面例重新求解前面例1 1： 解解 ： （1）确定系统期望的特征多项式系数：所以：（2）确定Date20（3）所以状态反馈矩阵K为：Date21例已知线性定常连续系统的状态空间表达式为 设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为1和2， 并画出闭环系统的结构图。解：先判断系统的能控性。 系统状态完全能控，可以通过状态反馈任意配置其极点。 令Date22则状态反馈闭环系统的特征多项式为 期望的特征多项式为 由，求得状态反馈闭环系统的结构图如下： Date23期望极点选取的原则：1）n维控制系统有n个期望极点；2）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对；3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。4）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。2 2、闭环系统期望极点的选取、闭环系统期望极点的选取Date24五、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性五、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性定理定理：如果SI线性定常系统 是能控的，则状态反馈所构成的闭环系统 也是能控的。证明证明:Date25结论结论：对SISO系统，引入状态反馈后，不改变系统原有的闭环零点。所以经过极点的任意配置，可能会出现零极点相约，由于可控性不变，故可能破坏可观测性。第二能控标准型，受控系统传递函数：状态反馈后，闭环系统传递函数：Date26 本节小结本节小结 ： 1 1、状态反馈系统的结构、状态反馈系统的结构: :状态反馈闭环系统：状态反馈闭环传递函数矩阵为：状态反馈系统的特征方程为：2 2、输出反馈、输出反馈: :闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：Date273 3、输出到状态微分的反馈、输出到状态微分的反馈：闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：4 4、状态反馈极点配置条件和算法、状态反馈极点配置条件和算法：极点任意配置条件极点任意配置条件：系统状态完全能控。极点配置算法极点配置算法：反馈阵k的求法Date28(4)由 确定反馈矩阵K：(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写期望特征多项式。1 1）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵K K（维数较小时，维数较小时，n 3n 3时）时）(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。Date29(4)写出第二能控标准型下的反馈增益矩阵：(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：2 2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n3n3时）时）(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。(3)写出期望的特征多项式：(2)确定将原系统化为第二能控标准型 的变换阵 Date305 5、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性可以保持原系统的能控性，但可能破坏原系统的能观测性。3 3）爱克曼公式）爱克曼公式(Ackermann(Ackermann公式法公式法) ) （维数较大时，（维数较大时，n3n3）其中 是A满足其自身的特征方程，为：为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：2）和3）方法非常适合于计算机matlab求解Date31第二节 系统的镇定问题1. 系统镇定的概念 2. 状态反馈与系统的镇定Date32一、系统镇定的概念一、系统镇定的概念镇定：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即 闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能镇定的。可以 采用状态反馈实现镇定，则称系统是状态反馈能镇定的。定理：定理：如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态反馈 能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。定理证明：定理证明：二、状态反馈与系统的镇定二、状态反馈与系统的镇定原系统：Date33将原系统按照能控性分解，得到系统对系统 引入状态反馈后，系统矩阵变为闭环系统特征多项式为：能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定要求渐近稳定Date34结论结论1 1：如果线性定常系统是状态完全能控的，则不管其特征值是否都具有负实部，一定是状态反馈能镇定的。（一定存在状态反馈阵K，使闭环系统的极点得到任意配置）不稳定但状态完全能控的系统，可以通过状态反馈使它镇定结论结论2 2：可控系统是一定可镇定的，可镇定系统不一定是可控的Date35 例例 系统的状态方程为 （2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值 是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定的。因 此该系统是状态反馈能镇定的。 解解 ： （1）系统的特征值为1，2和5。有两个特征值在右半S平 面，因此系统不是渐近稳定的。 （1）该系统是否是渐近稳定的？ （2）该系统是否是状态反馈能镇定的？ （3）设计状态反馈，使期望的闭环极点为Date36（3）不能控部分的极点为5，与其中一个期望极点相同。 此时，只能对能控部分进行极点配置。设 ， 对能控部分进行极点配置。 期望的特征多项式为：Date37由 得：