矩阵变换的特征值与特征向量复习若向量= ,利用逆矩阵解二元一次方程组则与共线,即与平行,即.表示一个压缩变换BCA xyO11MBCA xyO1121ABCxy11-1OABCBA xy11-1ON关于y轴的反射变换一般地,给定矩阵M,若存在一个非零向量和实数,满足 M = 则称为矩阵M的特征值, 为矩阵M的属于特征值的 特征向量.特征向量变换后的像与原向量是共线的特征向量的不变换性还有没有其他的特征值和特征向量?如何确定矩阵的特征值和特征向量呢?实例分析由定义知特征向量是非零向量,将问题转化为:二元一次方程组何 时有非零解.存在逆矩阵N-1M 无特征向量当 2-5-24 = 0 时, 才可能是M的特征值解方程得 1 =8 2 =-3将 1 =8 代入 (5.2)1 =8 是M的特征值都是属于特征值1 =8 的特征向量.将 2 =-3 代入(5.2) x+y=0对每一个x0的值,都是属于2 =-3的特征向量 2 =-3 是 M 的特征值对于矩阵M,若有特征值及相应的特征向量, 即M=,则对任意实数t(t0),t也必是矩阵 M 对应于 特征值的特征向量.由于它们是共线的堂上练习1.求下列矩阵的特征值和特征向量堂上练习2.利用特征向量的定义证明,若 是矩阵M对应于特征 值 的特征向量,则 t(实数t0)也必是矩阵 M 对应于 特征值 的特征向量.抽象概括若矩阵 M 存在特征值,及其对应的特征向量因此,矩阵M的特征值必须满足方程方程的根即为矩阵 M 的特征值一个二阶方阵最多可以有两个特征值方程最多有两根解得特征值代入当 b0 时,由( - a ) x by = 0当x0时例1解矩阵M的特征值 满足方程解得 M 的两个特征值 1=2, 2=3设属于特征值 1=2 的特征向量为满足方程组这样的向量有无穷多个,可表示为为属于特征值1=2的一个特征向量设属于特征值 2=3 的特征向量为满足方程组这样的向量有无穷多个,可表示为为属于特征值2=3的一个特征向量综上所述,有两个特征值1=2,2=3对上例中连续实施n次矩阵M的变换,则一般地,当矩阵M有特征值及对应的特征向量 ,即M = 则有 Mn = 给定两个不同线向量1,2及任意向量,总存在实数 s,t, 使得 = s1 + t2如果矩阵M 有两个不同线的特征向量1,2 ,及其相应 的特征值1,2 ,有 M1= 1 1 , M2= 2 2 对任意向量有M=M(s1 + t2)=s(M1)+ t(M2)= s( 11)+ t(22) 变换结果,任意向量在矩阵M 作用下的变换结果均可 以用它们表示.对一般向量连续实施矩阵M 所表示的变换时,M2 = M2(s1+t2)= s ( M21 ) + t (M2 2)一般地例2解利用例1结果是矩阵M分别对应特征值12的两个特征向量,且它们不同线作业课本第111页习题5-1 A组题1,3,4