一、一、线性空间的定义线性空间的定义 二二、线性空间的简单性质、线性空间的简单性质6.2 6.2 线性空间的定义线性空间的定义与简单性质与简单性质1两种运算满足:引例引例 1 1运算: 加法和数量乘法：数域P上的n维向量空间Pn2两种运算满足:引例引例 2 2运算: 加法和数量乘法数域P上的全体mn矩阵,记为Pmn3一、一、线性空间的定义线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为的和，记为 ；定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为的数量乘积，记为法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间.在P与V的元素之间还如果加法和数量乘定义了一种代数运算，叫做加法：即对 ， 4加法满足下列四条规则： 数量乘法与加法满足下列两条规则： （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ;（ 称为 的负元素） 在V中有一个元素0，对 对 都有V中的一个元素 ，使得 53. 线性空间的判定：注：注： 1. 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2. 线性空间的元素也称为向量，向量空间称为线性运算运算满足八条规则集合对于定义的加法和数乘运算封闭 线性空间也称但这里的向量不一定是有序数组6例1 引例1中的 Pn为数域 P上的线性空间例3 数域 P上多项式的全体，加法和数量乘法引例2中的 Pmn为数域 P上的线性空间例2 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间按多项式的记为 Px, 构成数域 P上的一个线性空间按多项式的加法和数量乘法 线性空间构成数域 P上的一个7例5 全体正实数R，判断 R是否构成实数域 R上的线性空间 .1) 加法与数量乘法定义为： 2) 加法与数量乘法定义为： 例4 区间a,b上的连续函数,按函数的加法及实数与函数的乘法构成实数域上的线性空间.8R不构成实数域R上的线性空间. 不封闭，因 R构成实数域R上的线性空间 首先，R ，,且 ak 唯一确定 解：解： 1）,且 ab 唯一确定； 事实上, 其次，加法和数量乘法满足下列运算律 2)且加法和数量乘法对R是封闭的.9 即1是零元； R， R，且 即 a 的负元素是 ；; ; R构成实数域 R上的线性空间 ;101、零元素是唯一的. 2、 的负元素是唯一的，记为 利用负元素，我们定义减法： 二、线性空间的简单性质二、线性空间的简单性质 3、4、如果0，那么k0或 0. 注注: :只含一个向量零向量的线性空间称为零空间.111、零元素是唯一的. 2、 的负元素是唯一的，记为 利用负元素，我们定义减法： 01010202证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有二、线性空间的简单性质二、线性空间的简单性质 证明：假设 有两个负元素 ，则有 12证明：两边加上 即得 0 0； 两边加上 ；即得k 00 ; 两边加上 即得 即得 两边加上 3、134、如果0，那么k0或 0. 证明：假若 则注注: :只含一个向量零向量的线性空间称为零空间.14