2010届高考数学复习 强化双基系列课件 24三角函数- 三角函数的应用1.已知函数 f(x)=tanx, x(0, ), 若 x1, x2(0, ), 且 x1x2. 证明: f(x1)+f(x2)f( ).x1+x2 21 222证: tanx1+tanx2= + sinx1 cosx1 sinx2 cosx2 sinx1cosx2+cosx1sinx2 cosx1cosx2 =sin(x1+x2) cosx1cosx2 =2sin(x1+x2) =cos(x1+x2)+cos(x1-x2) x1, x2(0, ), 且 x1x2, 22sin(x1+x2)0, cosx1cosx20 且 0 . 2sin(x1+x2) 1+cos(x1+x2) (tanx1+tanx2)tan . 1 2x1+x2 2 f(x1)+f(x2)f( ).1 2x1+x2 2典型例题由已知 0f( ).1 2x1+x2 2另证: 令 tan =t1, tan =t2, 2x1 2x2则 (tanx1+tanx2)= , tan = . 1 2(t1+t2)(1-t1t2) (1-t12)(1-t22)x1+x2 2t1+t2 1-t1t2 故要证不等式等价于(t1+t2)(1-t1t2) (1-t12)(1-t22)t1+t2 1-t1t2 . 只需证明 (1-t1t2)2(1-t12)(1-t22). 即证 1-2t1t2+(t1t2)21-t12-t22+(t1t2)2. 即证 (t1-t2)20. t1t2, (t1-t2)20 成立. 1.已知函数 f(x)=tanx, x(0, ), 若 x1, x2(0, ), 且 x1x2. 证明: f(x1)+f(x2)f( ).x1+x2 21 2222.已知 cos(+ )= , 0, 3 5 + 0, 3 5 + 0), 当 为多少弧度时, 该扇形有最大面积? 解: (1)设扇形的弧长为 l , 该弧所在的弓形面积为 S弓.=60= , R=10cm, 3 l = (cm). 310S弓=S扇形-S三角形= 10- 102sin60 3101 21 2=50( - )(cm2). 33 2 (2)扇形的周长 C=2R+l =2R+R, 2+ CR= . S扇形= R2= ( )2 1 21 22+ C= C21 2 4+4+2 = C2 21 4+ 4 C2 21 4+2 4= . C2 16C2 16当且仅当 = 即 =2(=-2舍去)时, 该扇形有最大面 4积 cm2. ABCDPQRST3.如图所示, ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮, 其中 AST 是一半径为 90m 的扇形小山, 其余 部分都是平地. 一开发商想在平地上建 一个矩形停车场, 使矩形的一个顶点在 ST 上, 相邻两边 CQ, CR 落在正方形的 边 BC, CD 上, 求矩形停车场 PQCR 面积 的最大值和最小值.解: 连结 AP, 设 PAB=(090), 延长 RP, 交 AB 于 M, M则 AM=90cos, MP=90sin. PQ=MB=100-90cos, PR=MR-MP=100-90sin. S矩形PQCR=PQPR=(100-90cos)(100-90sin) =10000-9000(sin+cos)+8100sincos 令 t=sin+cos(1t 2 ), 则 sincos= . t2-1 2S矩形PQCR=10000-9000t+4050(t2-1) 故当 t= 时, S矩形PQCR 有最小值 950m2;910当 t= 2 时, S矩形PQCR 有最大值 (14050-9000 2 )m2. =4050t2-9000t+5950. E=k (其中 k 是一个与电光强度有关的常数), 问要使桌子 边缘处最亮即E 最大, 应怎样选择电灯悬挂的高度 h(指电灯离 开桌面的距离)?4.在一张半径为 2 米的水平圆桌正中央上空挂一盏电灯, 已 知桌子边缘一点处的亮度为 E, 灯光射到桌子边缘的光线与桌 面的夹角 及这一点到光源的距离 r 三者之间的关系为:r2sin 解: 由已知 r= .cos 2 4sincos2 E=k (00, 且 ksin+cos=2. k2+1sin(+)=2. sin(+)1, k2+12. k 3 .3故当 k= 3 , 即 = 时, l 最小, 此时成本最低. EDFCABO6.平地上有一水渠, 渠边是两条长 100 米的平行线段, 渠宽 AB 长 2 米, 与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧, 圆弧 中点为 C, 渠中水深为 0.4 米. (1)求渠中水有多少立方米(sin0. 927=0.8)? (2)若要把水渠改挖(不得填土)成截面为等腰梯形的 水渠, 使渠的底面与地面平行, 改挖后的渠底宽为多少时, 所挖 的土最少(结果保留根号)? 解: (1)如图, 依题意, CF=0.4, OE=1, OF=0.6. EF=0.8, DE=2EF=1.6. 在 OEF 中, sinEOF=0.8, EOC=0.927. EOD=20.927. S扇形DOE= 20.92712 1 2=0.927. 而 S三角形DOE= OFDE=0.48, 1 2 渠中有水 100(0.927-0.48) =44.7(立方米). MNPO6.平地上有一水渠, 渠边是两条长 100 米的平行线段, 渠宽 AB 长 2 米, 与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧, 圆弧 中点为 C, 渠中水深为 0.4 米. (2)若要把水渠改挖(不得填土) 成截面为等腰梯形的水渠, 使渠的底面与地面平行, 改挖后的 渠底宽为多少时, 所挖的土最少(结果保留根号)? 解: (2)如图, 依题意, 只需等腰梯形面积最小. 设 ONP=, 则梯形面积 S= (2cot+2csc2) 1 2cos2+2 sin2 = . 即 Ssin2-cos2=2, S2+1 sin(2-)=2(tan= ). S1|sin(2-)|1, S2+12 1. S 3 .S 的最小值为 3 , 此时 = . 6即 sin(2- )=1. 6= .33故 MN=2OPcot = . 3 2 3 即改挖后的渠底宽为 米. 3 2 3 解: 如图, 分两种情况讨论: AB=CD=a, AD=BC=b. 7.有一块长为 a, 宽为 b(ab) 的矩形木板, 在二面角为 的墙 角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面的两边与 封面贴紧), 试问, 应怎样围才能使储物仓的容积最大? 并求出 这个最大值. ABCD Oxy 设 OA=x, OB=y, 则 a2=x2+y2-2xycos, a22xy-2xycos=2xy(1-cos). xy (当且仅当 x=y 时取等号). 2(1-cos) a2又V1=( xysin)b 1 24(1-cos) a2bsin = a2bcot . 1 42当 OA=OB 时, 储物仓的容积最大; (2)若使短边紧贴地面, 则 xy (当且仅当 x=y 时取等号). 2(1-cos) b2(1)若使长边紧贴地面, 则 V2=( xysin)a 1 24(1-cos) ab2sin = ab2cot . 1 42也是 OA=OB 时, 储物仓的容积最大. 2ab0, cot 0, V1V2 . 故当长边紧贴地面且仓的底面是以 a 为底边的等腰三角形时, 储物仓的容积最大. 最大值为 a2bcot . 1 42EDFABQCPRS解: (1)AC=asin, AB=acos, 设正方形边长为 x, 则 BQ=xcot, RC=xtan. 8.如图, 某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, ABC 外的地方种草, ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池, 其余的地方种花. 若 BC=a, ABC=, 设 ABC 的面积为 S1, 正方形的面积为 S2. (1)用 a, 表示 S1 和 S2; S1 S2化时, 求 取最小值时的角 . (2)当 a 固定, 变xcot+xtan+x=a. S1= a2sincos= a2sin2. 1 21 4x= =cot+tan+1 a 1+sincos asincos 2+sin2 asin2 = . S2=x2=( )2= . 2+sin2 asin2 a2sin22 4+sin22+4sin2 (2)当 a 固定, 变化时, S1 S2=( a2sin2) 1 4a2sin22 4+sin22+4sin2 1 44sin2 4+sin22+4sin2 = = ( +sin2+4). sin2 44 t令 sin2=t, 则 = (t+ +4). S1 S21 4200. t1t2t1t2-4即 f(t1)-f(t2)0. f(t1)f(t2). f(t) 在 (0, 1 上是减函数. 4S1 S2当 t=1 时, 取最小值, 此时, = . 域名抢注 www.jd10.com 域名抢注 芬鬻阬