三角函数最值问题探究2008-10-8三角函数的值域和最值是三角函数的重要性质之一，也是学习中的难点之一.求三角函数的值域和最 值，所涉及三角函数的所有知识外，还与二次函数、不等式等其他重要知识点有密切的联系，是历年高 考考查的热点。本文对三角函数求值域（最值）的几种常用类型略作归纳，供同学们参考。1型型bxaysin设化为一次函数在闭区间上最值求之。xtsinbaty1 , 1t例 1 求函数的最值2sin3xy解 令，则原式化为，得，故xtsin, 23 ty1 , 1t51y5, 1maxminyy2 2型型cxbxaycossin引进辅助角，化为，再利用正弦、余弦的有界解之 abtancxbaysin22例 2 当，求函数的最值22x xxxfcos35sin5解 ，设，即， )3sin(10cos35sin5xxxxf3 xt65 6t由的图象知，当时，有最小值，；当时， 65,6,sintty6ttsin21 5minxf2t有最大值 1，故；tsin 10maxxf3 3型型cxbxaysinsin2设，化为二次函数在闭区间上的最值求之xtsincbtaty21 , 1t例 3 求函数的值域3sin2cos22xxy解 原式化为1sin2sin23sin2sin1222xxxxy21 21sin22 x令，则，由二次函数图象可知，当时，当xtsin1 , 1,21 2122 tty21t;21miny时，1t; 5maxy4型函数型函数xxxbxay22coscossinsin此类函数可先降次，整理再化为类型 2：求的最大值、最小值。xBxAy2cos2sin例 4 求 的最大值.xxxxy22cos3cossin2sin解 xxxxy22cos3cossin2sin242sin22cos12sin1cos2cossin2cossin222 xxxxxxxx当时，y 取得最大142sin x225型函数型函数cxxbxxaycossincossin设化为二次函数在闭区间上的最值求之xxtcossincbtta 212 2,2t例 5 求函数的最值 3cos3sinxxy解 原式化为，则令，则，3cossin3cossinxxxxyxxtcossin21cossin2txx且，故，所以当时，；当2,2t1321332122 ttty2t627maxy时，。2t627miny6 6型型dxcbxaysinsin反解出，由正弦函数的有界性；或可用分析法求最值xsin1sinx例 6 求函数求最值3sin3sin xxy解法一：利用求反函数法解出，由，解得，故yyx1) 1(3sin1sinx212y；21, 2maxminyy解法二：利用“部分分式”分析法，原式化为，再由，解得，3sin61xy1sinx212y故21, 2maxminyy7 7型型dxcbxaycossin化归为型解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）xBxAycossin例 7 求函数的最大值及最小值2cossin xxy解法一： 原式可化为，化为，即02sincosyxxyyxy2sin12，由得，解得，故 12sin 2 yyx1sinx1 122 yy 33 33y33,33maxminyy解法二：函数的几何意义为两点2cossin xxy，0 , 2P连线的斜率，而点的轨迹为单位圆，xxQsin,coskQ如图可知，33 33k故33,33maxminyy8 8型型xbxaysinsin例 8 求函数的最小值。2, 0,sin4sinxxxy解：令，则，利用函数型的单调性得，函数xtsin2, 0x1 , 0,4tttyxbaxy在上为单调递减函数，故当时，最小值为 5。tty41 , 0t1ty由以上几种形式归纳出解三角函数最值问题的基本方法：一是用正余弦函数的有界性求解，二是利 用二次函数闭区间内最大值、最小值方法。此外，还可以利用重要的不等式公式或数形结合的方法来解 决。附附:2008 年三角函数最值问题年三角函数最值问题1.（湖南卷 6）函数在区间上的最大值是( C )2( )sin3sin cosf xxxx,4 2 A.1 B. C. D.1+13 23 232.（重庆卷 10)函数f(x)=() 的值域是 Bsin1 32cos2sinx xx 02x（A）-(B)-1,0 （C）-（D）-2,022,03,03.（上海卷 6）函数f(x)sin x +sin( +x)的最大值是 2324.（辽宁卷 16）已知，且在区间有最( )sin(0)363f xxff，( )f x6 3 ，小值，无最大值，则_14 3 5.（全国一 17） （本小题满分 10 分）yP(-2,0)x（注意：在试题卷上作答无效）设的内角所对的边长分别为，且ABCABC，abc，3coscos5aBbAc（）求的值；tancotAB（）求的最大值tan()AB解析：（）在中，由正弦定理及ABC3coscos5aBbAc可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB即，则；sincos4cossinABABtancot4AB （）由得tancot4AB tan4tan0AB2tantan3tan3tan()1tantan14tancot4tanABBABABBBB3 4当且仅当时，等号成立，14tancot,tan,tan22BBBA故当时，的最大值为.1tan2,tan2ABtan()AB3 4 6.（北京卷 15） （本小题共 13 分）已知函数（）的最小正周期为2( )sin3sinsin2f xxxx0（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围( )f x203 ，解：（）1 cos23( )sin222xf xx311sin2cos2222xx1sin 262x因为函数的最小正周期为，且，( )f x0所以，解得221（）由（）得1( )sin 262f xx因为，203x所以，72666x所以，1sin 2126x因此，即的取值范围为130sin 2622x( )f x302 ，7.（四川卷 17） （本小题满分 12 分）求函数的最大值与最小值。2474sin cos4cos4cosyxxxx【解】：2474sin cos4cos4cosyxxxx2272sin24cos1 cosxxx2272sin24cossinxxx272sin2sin 2xx21 sin26x由于函数在中的最大值为216zu11 ，2 max1 1610z 最小值为2 min1 166z故当时取得最大值，当时取得最小值sin21x y10sin21x y68.（天津卷 17） （本小题满分 12 分）已知函数（）的最小值正周期是22s(incoss1)2cof xxxx,0xR2（）求的值；（）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合( )f x( )f xx（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分sin()yAx（）解： 242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin12sin22cos12 xxxxxxxxf由题设，函数的最小正周期是，可得，所以 xf2 222 2（）由（）知， 244sin2 xxf当，即时，取得最大值 1，所以函数的最大kx2244Zkkx21644sinx xf值是，此时的集合为22x Zkkxx,216|9.（安徽卷 17） （本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知函数( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程( )f x（）求函数在区间上的值域( )f x,12 2解：（解：（1）( )cos(2)2sin()sin()344f xxxxQ13cos2sin2(sincos )(sincos )22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x2T2周周由2(),()6223kxkkZxkZ周函数图象的对称轴方程为 ()3xkkZ（2）5,2,12 2636xx Q因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，( )sin(2)6f xx,12 3,3 2 所以 当时，取最大值 13x( )f x又 ，当时，取最小值31()()12222ff Q12x ( )f x3 2所以 函数 在区间上的值域为( )f x,12 23,1210.（湖北卷 16）.已知函数117( ), ( )cos(sin )sin(cos ),( ,).112tf tg xx fxx fx xt（）将函数化简成（，）的形式；( )g xsin()AxB0A 00,2 )（）求函数的值域.( )g x本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）解：（）1 sin1 cos( )cossin1 sin1 cosxxg xxxxxgg2222(1 sin )(1 cos )cossincossinxxxxxxgg1 sin1 coscossin.cossinxxxxxxgg17,coscos , sinsin ,12xxxxx Q1 sin1 cos( )cossincossinxxg xxxxxggsincos2xx2sin2.4x（）由得17 12x周周55.443x周在上为减函数，