大学物理学电子教案长江大学教学课件量子物理（4）15-6 波函数 一维定态薛 定谔方程复 习 德布罗意波 实物粒子的二象性 不确定关系15-6 波函数 一维定态薛定谔方程 薛定谔 (Erwin Schrdinger, 18871961) 薛定谔在德布罗意思想的基础上，于 1926年在量子化就是本征值问题的论 文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方 程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为 基础的波动力学和量子力学的近似方法。 薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的 地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的 价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献 卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉 克共获诺贝尔物理奖金。薛定谔还是现代分子生物学的奠基人 ，1944年，他发表一本名为什么是生命 活细胞的物理面貌的书，从能量、 遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。奥地利著名的理论 物理学家，量子力 学的重要奠基人之 一，同时在固体的 比热、统计热力学 、原子光谱及镭的 放射性等方面的研 究都有很大成就。狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984） 英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入 。他还有许多创见（如磁单极子等）都是 当代物理学中的基本问题。由于他对量子 力学所作的贡献，他与薛定谔共同获得 1933年诺贝尔物理学奖金。一、波函数 概率密度 1、平面简谐波的波函数一个频率为n ，波长为l 、沿x方向传播的单色平面波的波函数 为复数形式2、自由粒子的波函数一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率 和波长：波函数可以写成振幅3、波函数的统计解释某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与波 函数模的平方成正比。概率密度波函数(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的 平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒 子的概率，即| 2 代表概率密度。波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量 子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与 博享了1954年的诺贝尔物理学奖。电子数 N=7电子数 N=100电子数 N=3000电子数 N=20000电子数 N=70000单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率大电 子 双 缝 干 涉 图 样4、波函数满足的条件 标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数。归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内 ，它不是在这里就是在那里，所以总的概率为1，即对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。归一 化条件要求波函数平方可积。归一化因子：若某波函数A未归一化归一化因子例：作一维运动的粒子被束缚在0xa的范围内，已知其波函数为求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 处出现的概率最大？ 解：(1)由归一化条件解得(2)粒子的概率密度为粒子在0到a/2区域内出现的概率(3)概率最大的位置应该满足即当时，粒子出现的概率最大。因为 0xa，故得x=a/2，此处粒子出 现的概率最大。二、薛定谔方程 1、问题的引入在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，状态 随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗 意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子 力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。建立薛定谔方程的主要依据和思路：要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子若1是方程的解，则C1也是它的解；若波函数1与2是某 粒子的可能态，则C11+C22也是该粒子的可能态。波函数应遵从 线性方程2、自由粒子的薛定谔方程分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数考虑到 E=p2/2m把波函数与方程E=p2/2m相乘，并用代替即可。3、势场中运动的粒子的薛定谔方程当粒子在势场中运动4、粒子在三维空间中的薛定谔方程哈密顿算符5、关于薛定谔方程的说明薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的 一个基本原理；薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定鄂方程 时，还要加上一些条件： 波函数平方可积，且满足归一化条件； 波函数及其对空间的一阶导数连续； 波函数为单值函数。6、定态薛定鄂方程若粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，即 Ep= Ep(r)不显含时间，则薛定鄂方程的一个特解可以写为方程左边只与时间有关，而右边是空间坐标的函数。由 于空间坐标与时间是相互独立的变量，所以只有当两边 都等于同一个常量时，该等式才成立，以E表示该常量， 则因而薛定鄂方程的特解为E(r)满足下列方程该方程称为定态薛定鄂方程 E 能量本征值 E(r) 本征函数 定态薛定鄂方程也称为本征方程。满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态。在定态下，可 以证明： 粒子分布概率不变； 能量不变； 其它力学量平均值不变。三、一维势阱问题以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样 确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然 结果。已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受力为零，势能为零。在 阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的 斥力。称为一维无限深方势阱。其定态薛定谔方程：x = 0x = axEP(x)令1、解方程A,B是积分常数，可由边界条件确定。 x=0时，=0可得B=0，所以(x)=Asinkx x =a时，=0可得(a)=Asinka 由于A0，所以有sinka=02、能量(1)粒子的能量只能取分立值，这 表明能量具有量子化的性质。 (2)n叫做主量子数，每一个可能 的能量称为一个能级，n=1称为基 态，粒子处于最低状态， E1=h2/(8ma2)，称为零点能；3、波函数的表达式归一化条件xOaE粒子在各处出现的概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度讨论： 量子数n对运动 结果的影响n=4n=3n=2n=1四、对应原理在某些极限情况下，量子力学规律可以转化为经典力学规律 ，这就是量子力学的对应原理。1、能级差对于微观粒子，a小，所以E大，量子效应显著。若在普通宏观尺度范围内，能级之间的间隔很小，能量的量子 化就不显著。即使n的值较大，相邻能级之间的间隔仍然是很小 的，这时可以把能量看成是连续分布的。2、能级的相对间隔当n时，能量的量子化效应不显著，可以认为能量是连续 分布的。所以经典物理可以看成是量子物理中量子数n时 的近似。五、一维方势垒 隧道效应在经典力学中,若EEP0，粒子的动能 为正，它只能在 I 区中运动。OIIIIII令：三个区间的薛定谔方程化为：若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射波； 粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只有透射波 。粒子在x=0处的几率要大于在x=a处出现的几率。其解为：根据边界条件解的的结果如图所示定义粒子穿过势垒的贯穿系数：隧道效应当E-EP0=5eV时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿系数会小 六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概 念过渡到经典了。IIIIII粒子的能量虽不足以 超越势垒 , 但在势垒中似 乎有一个隧道, 能使少量 粒子穿过而进入 的区域 , 所以人们形象地 称之为隧道效应 .隧道效应的本质 : 来源于微观粒子的波粒二相性 .量子围栏照片1981年宾尼希和罗雷尔 利用电子的隧道效应制成了扫描遂 穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面 原子排列的状况 . 1986年宾尼希又 研制了原子力显微镜.应用 小 结 波函数 概率密度 薛定谔方程 一维势阱问题 对应原理 一维方势垒 隧道效应作 业 大学物理习题集,练习27