人教A版必修一新课标数学第2课时 函数奇偶性的应用人教A版必修一新课标数学目 标 要 求1.能利用函数的奇偶性与单调性分析解决较简单的问题2学会运用函数图象理解和研究函数的性质.人教A版必修一新课标数学热 点 提 示 学习时，应充分利用特殊函数图象，借助图形的形象直观，整体把握奇偶性的本质特征，从而准确理解其概念在分析解决与奇偶性有关问题时，应充分利用奇偶性这一本质特征(关于原点对称区间上图象的对称这一性质)来解决问题.人教A版必修一新课标数学人教A版必修一新课标数学1奇函数f(x)的图象关于原点对称，当f(x)的定义域为R时，必有f(0)0.2如果一个函数的图象关于y轴对 称，那么这个函数是偶函数3若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M.4若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是增函数人教A版必修一新课标数学想一想：如果f(x)是R上的奇函数，且在3,6上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在6，3上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在6，3上的最大值为2，最小值为4.人教A版必修一新课标数学解析：对A、C，函数是奇函数，对D，函数虽是偶函数，但是在(0，)上是增函数答案：B人教A版必修一新课标数学2若函数yf(x)(xR)是奇函数，且f(1)f(2)Cf(1)f(1) Df(2)f(1)解析：f(1)f(2)又已知f(x)是奇函数，f(1)f(2)答案：B人教A版必修一新课标数学解析：f(a)f(a)，函数必过(a，f(a)答案：C人教A版必修一新课标数学4设f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递 增，则f(2)，f()，f(3)的大小顺序是_解析：f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上递增，而2f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)答案：f()f(3)f(2)人教A版必修一新课标数学5已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x22x2.(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调 区间人教A版必修一新课标数学(2)先画出yf(x)(x0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应yf(x)(x0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式思路分析：本题已知x0时f(x)的解析式，只需再求出x0及x0的解析式进行转化，可求得x0时，f(x)x32x3，求f(x)在x0，f(x)(x)32(x)3x32x3.f(x)x32x3(xf(x2)，其中x1x20.f(x)在(0，)上是减函数，f(x1)f(x2)，f(x)在(，0)上是减函数温馨提示：在解决利用函数的奇偶性判断单调性的问题时，借助于函数的奇偶性完成对f(x1)f(x2)符号的判断是关键 人教A版必修一新课标数学由奇函数和偶函数的性质，可得单调 性与奇偶性的联系：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调 性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调 性相反人教A版必修一新课标数学人教A版必修一新课标数学类型三 利用函数的奇偶性比较大小【例3】 已知函数f(x)在区间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调 函数，且f(3)f(1)Cf(1)f(5)思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间5,5上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间0,5上的单调性人教A版必修一新课标数学解析：函数f(x)在区间0,5上是单调函数，又31，且f(3)f(1)选项B中，01，故f(0)f(1)，选项D中f(3)f(1)解析：函数f(x)在区间5,5上是偶函数，因此f(x)f(x)，于是f(3)f(3)，f(1)f(1)，又f(3)f(1)，所以f(3)f(1)因为f(x)在区间0,5上是单调函数，从而函数f(x)在0,5上是减函数观察四个选项，并注意到f(x)f(x)，易得只有D正确答案：D 人教A版必修一新课标数学思路分析：由f(x)的奇偶性及函数在(0，)上的单调性，不难得出f(x)在(，0)上的单调性再将不等式两边化为函数值的形式，利用单调性便可脱去函数记号“f”，于是问题转化为解不等式人教A版必修一新课标数学人教A版必修一新课标数学解决有关函数的奇偶性、单调 性以及求字母取值范围的综合问题时 ，一般先利用奇偶性得出区间上的单调 性，再利用单调 性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题 需要注意的是：在转化时，自变量必须在同一单调 区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式人教A版必修一新课标数学4 已知函数f(x)是定义域为实 数集R的偶函数，且在区间0，)上是增函数，若f(m)f(2)，求实数m的取值范围解：函数f(x)是实数集R上的偶函数，且在0，)上是增函数，所以f(x)在(，0)上是减函数当m0时，由f(m)f(2)，知m2；当m0时，由f(m)f(2)，f(2)f(2)，可得f(m)f(2)，知m2.故所求的m的取值范围为(，22，)人教A版必修一新课标数学1对于奇函数f(x)有(1)函数图象关于原点对称；(2)在关于原点对称的区间上单调 性相同；如，若奇函数f(x)在区间a，b上是增函数，则函数f(x)在区间b，a上也是增函数(3)若在x0处有定义，则有f(0)0.人教A版必修一新课标数学2对于偶函数f(x)有(1)函数图象关于y轴对 称；(2)在关于原点对称的区间上单调 性相反；如，若偶函数f(x)在区间a，b上为减函数，则函数f(x)在区间b，a上应为 增函数(3)f(x)f(x)f(|x|)3对于同一定义域上的两个奇(偶)函数有(1)两个奇函数的和或差仍为奇函数；(2)两个偶函数的和或差仍为偶函数；人教A版必修一新课标数学(3)两个奇函数的积是偶函数；(4)两个偶函数的积是偶函数；(5)一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数4利用函数的单调 性与奇偶性可以求解一些抽象不等式、比较大小及单调 性的证明等综合性较强的问题