13.1.113.1.1等腰三角形等腰三角形加油亲爱的孩子们！ 老师像妈妈一样爱你们，你们是最懂事的孩子 ！创设情境下载图片创设情境等腰三角形你知道什么是等腰三角形吗?有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。ABC腰腰底边底角顶角相等的两条边AB和AC叫做腰;另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角BAC叫做顶角; 底边与腰的夹角ABC和 ACB叫做底角.如图，ABC中,AB=AC，那么ABC就是等腰三角形。只有等腰三角形才有底角和底边.ABCD如图:在三角形ABC中，AB=AC，且AD=BD， 请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰 三角形？ABC（AB=AC），ADB（AD=BD）若将条件改为AB=AC ,AD=BD=BC， 则有多少个等腰三角形？ABC（AB=AC）ADB（AD=BD）BDC （BD=BC）材料: 剪刀、一张矩形纸 方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折；（2）剪去阴影部分；（3）将剩余部分展开。大胆猜测请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形 纸片纸片, ,它除了两腰相等以外它除了两腰相等以外, ,你还能发你还能发 现什么现什么? ?ABC如果一个图形沿一条直 线折叠,直线两旁的部分能够 互相重合,我们就说这个图形 关于这条直线对称,那么这个 图形就叫轴对称图形,这条直 线叫对称轴.互相重合的点是 对应点,叫做对称点.返回设问：你发现了什么现象， 猜想等腰ABC有哪些性质？ 角: B = C BAD=CDAADC= ADB=900边: BD = CD 两个底角相等 AD为顶角BAC的平分线 AD为底边BC上的高 AD为底边BC上的中线结论: 等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“ 等边对等角”）； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线 合一”）证明： 作顶角的平分线AD. 在BAD和CAD中，AB=AC ( 已知 ), 1= 2 ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的对应角相等).已知： ABC中，AB=AC.求证： B= C.ABC1 2证明：等腰三角形的两个底角相等作顶角的平分线D证明： 作底边中线AD. 在BAD和CAD中，AB=AC ( 已知 ), BD=CD ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的对应角相等).已知： ABC中，AB=AC.求证： B= C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等作底边中线证明： 作底边高线AD. AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边) , Rt BAD Rt CAD (HL). B= C (全等三角形的对应角相等).已知： ABC中， AB=AC.求证： B= C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等作底边的高线在RtBAD和RtCAD中，等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两 个底角相等（等边 对等角）2等腰三角形顶角的 平分线，底边上的 中线和底边上的高 互相重合（等腰三 角形三线合一）例1 在三角形ABC中，已知AB=AC ，且B=80 ，则C= _度， A=_度？AB=AC（已知）B=C（等边对等角）B=80 （已知）C=80又A+B+C=180 （ 三角形内角和为180 ）A=180 BCA=20BCA等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两 个底角相等（等边 对等角）2等腰三角形顶角 的平分线，底边上 的中线和底边上的 高互相重合（等腰 三角形三线合一）操练操练1 1 在三角形ABC中，已知 AB=AC，且 A=50 ，则B= 度，C=度？CBAAB=AC（已知）B=C（等边对等角） 又A+B+C=180 （ 三角形内角和为180 ）A=50 （已知）B=65C=65小结归纳1 1等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂 直于底边.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合. “三线合一”随堂练习1.判断下列语句是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重 合。（ ） （2）有一个角是60的等腰三角形，其它两个内角也为60. （ ） （3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）3等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60，则 这个等腰三角形的顶角为（ ）A30 B150 C30或150 D1201ABC中，AB=AC，A=70，则 B=_ 2等腰三角形一底角的外角为105，那么它 的顶角为_度 C55 30 随堂练习2. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD BC，已知 BD=2cm,求DC=_cm, BC=_cm？CBDA12 AB=AC ,AD BC（已知）BD=CD（等腰三角形的高与 底边上的中线重合）即（等腰三角形三线合一）BD=2cm（已知）CD=2cm随堂练习3.已知AD BC,试找出等腰三角形ABC （ AB=AC）中，存在相等关系的量。CBDA1 2B=C1=2BDA=CDA=90BD=CD1（2010江西）已知等腰三角形的两条边 长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的 长是( ) A 8 B 7 C 4 D 3中考链接1 12 (2010宁波) 如图，在ABC中，AB=AC， A=36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平 分线， 则图中的等腰三角形有（ ）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 AB当堂测试等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_.等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为 _. 顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）20顶角1800底角90结论:在等腰三角形中,40 35 ，35 70,40或55,554. 根据等腰三角形的性质,在ABC中， AB=AC时， (1) ADBC，_ = _，_= _. (2) AD是中线，_ ，_ =_.(3) AD是角平分线，_ _ ，_ =_. ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD当堂测试5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点 ，则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。AEFB D C当堂测试解：相等，理由如下：连接AD在ABC中，AB=AC，D为C中点AD平分BACDEAB，DFACDE=DF小结归纳2 2通过本节课的学习，你有哪些收获？性质1：等边对等角性质2：“三线合一”常用来证明两角 相等，求等腰三 角形各角的度数 研究等腰三角形 的有关问题时“三 线”是常用的辅助 线等 腰 三 角 形把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如 果-那么-”形式。逆命题:如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形.如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形 的两个底角相等.它是真命题吗?探 究 新 知 操作一做一做你发现了什么结论？其他同学的结果与你 的相同吗？ 操作二量一量，线段AB与AC的长度。画ABC.使BC30AB=AC怎样用数 学推理进 行证明呢 ？ABCD1 2已知：如图,在ABC中，B=C。 求证：AB=AC你还有其 他证法吗 ?证明:作BAC的平分线AD 则1=2 在BAD和CAD中如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等B=C1=2AD=AD (公共边) AB= AC (全等三角形的对应边相等) BAD CAD (AAS)已知：在 ABC中， B=C 求证：AB=AC 证明：作BC边上的高AD在 BAD和C CAD中，B=C BAD CAD AB=AC（全等三角形的对应边 相等）ABCDADB=ADC=90 AD=AD（AAS）已知： ABC中，B=C求证：AB=AC 证明：作BC的中线AD 在 BAD和 CAD中，B=C BD=CD AD=AD BAD和 CAD不一定全等AB和AC不一定相等ABC D（SSA ）ABC如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等几何语言： B =C (已知) AB=AC(等角对等边) 等腰三角形的判定定理：(简写成“等角对等边”)。注意：在同 一个三角形 中应用哟！如图,下列推理正确吗? ABCD211=2 BD=DC （等角对等边）1=2 DC=BCABC D21（等角对等边）错，因为都不是在同一个三角形中。辩一辩巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？750300400400反馈检测ABCDE1 21.已知：如图，CAE是ABC的外角， 1=2，ADBC。 求证： AB=AC证明： ADBC， 1=B（两直线平行， 同位角相等）2=C（两直线平行，内错角相等） 1=2， B=C， AB=AC（等边对等角）。ABCDE1 21、如图，A=36，DBC=36 ，C=72。分别计算1、2的度 数，并说明图中有哪些等腰三角形。2、如图，把一张矩形的纸沿对角线 折叠，重合部分是一个等腰三角形吗 ？3、如图，AC和BD相交于点O，且 ABDC，OA=OB。求证：OC=OD。1=72，2=36 等腰三角形有：ABC，ABD， BCD 。ABCDE例：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里 每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A 、B望灯塔C，测得NAC=40NBC=80求从B处 到灯塔C的距离解：NBC=A+C C=80- 40= 40 C = A BA=BC（等角对等边）AB=20（12-10）=40BC=40答：B处到达灯塔C40海里小试牛刀8040NBAC北大 显 身 手如图，在ABC中，AB=AC，ABC和ACB的平分线交 于点O.过O作EFBC交AB于E，交AC于F. (1)、请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、 FC之间的关系；2ABO 3ACOOABCEF若ABAC，其他 条件不