中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组3.1 3.1 不定积分不定积分高等数学A3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 不定积分的性质 3.1.3 基本积分表第第3 3章章 一元函数积分学一元函数积分学3.1 不定积分3.1.3 基本积分表3.1.1 原函数的概念 不定积分的概念与性质3.1.2 不定积分的性质求积分习例2-143.1.2 不定积分的概念 思考题-分段函数的不定积分问题 原函数的定义原函数的存在性定义不定积分的几何意义 1. 问题 一、原函数的概念 2. 原函数的定义 3. 原函数的存在性 定理1.问题：(1) 原函数是否唯一？(2) 若不唯一,它们之间有什么联系？若函数f(x)在区间I上连续, 则f(x)在I上存在 原函数F(x).（ 为任意常数）如定理2. 设F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数, 则证明:注意: (1) 初等函数在其定义区间上都有原函数.(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数.(3) 原函数不唯一.(4) 如果f(x)在I上存在原函数,则称f(x)在I上可积.任意常数1. 定义 函数f(x)在区间I上的原函数全体, 称为 f(x)在I上的不定积分. 记为积分号被积函数被积表达式积分变量二、不定积分的概念 每一个求导 公式, 反过 来就是一个 求原函数的 公式, 加上 积分常数C 就成为一个 求不定积分 的公式.注意: (1)尽管不定积分中各个部分都有其独特的含义， 但在使用时须作为一个整体看待.(2) 积分变量是指d后面的那个量.(3) 不定积分与原函数是两个不同的概念，它们 是整体 与个体的关系，原函数是一个函数，不 定积分是一族函数.2.不定积分的几何意义 若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图形为f(x)的 一条积分曲线.如图.xoy这些曲线在横坐标 相同处切线平行.例1. 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解:设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为是常数);三、基本积分表特别地,证明:故结论正确.四、不定积分的性质不定积分的基本性质： (k为任意常数)性质(1)(2)说明微分运算与求不定积分的运算 是互逆互逆的. 性质(3)可推广到有限多个函数之和的情况.五、求不定积分习例-直接积分法例2. 计算例3. 计算例4. 计算例5. 计算例6. 计算例7. 计算例8. 计算例9. 计算例10. 计算例11. 计算例12. 计算例13. 计算例14. 计算解:+ C例2. 计算例3.解:例4.解:例5.解:例6.解:解:例7. 计算解:例8. 计算分式化成最 简真分式的 代数和解:例9. 计算分式化成最 简真分式的 代数和例10.解:假分式 化成多项式 加真分式例11.解:以上几例中的被积函数都需要进行恒等 变形，才能使用基本积分表.说明：例12.解:例13.解:解:说明:被积函数为三角函数时需要进行三 角恒等变形，才能使用基本积分表.例14. 计算思考题-分段函数的不定积分的求法1. 先求各分段部分在相应区间内的原函数2. 考察在分界点处函数的连续性例15.例16.例15.解:例16.解: