3杆件结构的有限元法虚功原理 直接刚度法：已知杆件刚度，利用位移和 力的关系，建立单元刚度矩阵。 不知道力位移的关系，怎样求解？ 本章介绍一种更为一般的有限元求解力学 问题的方法：虚功原理推导杆单元刚度 矩阵。这一方法分为6步。 第一步：建立局部坐标系，写出单元的位移向量 和节点力向量。节点的位移向量和力向量为因为向量包含四个分量，所以单元刚度矩阵 应该是 阶的。第二步：选择适当的位移函数 单元内的位移函数，也称为插值函数或试探函数 。它应满足单元的边界条件。 一般常选择多项式作为位移函数。多项式的项数 与单元节点数和节点处的假设已知条件数有关 。 因为杆单元沿 方向没有位移，也没有对应的 力，所以可以直接写出两者的关系为下面建立 方向位移的插值函数。 设杆件内任意一点沿 的位移向量为第三步：求单元内任意一点的位移与节点位移的 关系 由 可写出由此可得第四步：求应变位移节点位移的关系 单元内任意一点的应变可以通过对该点的位移的 微分得到，并最终表示为单元的节点位移第五步：求应力应变节点位移间的关系第六步：节点位移和节点力的关系 虚功原理：外力在虚位移上所做的功，等于内应 力在相应虚应变上所作的功。 外力在虚位移上所做的功为设系统的初始内应力为0，虚应变为 ，则内应 力所做的功为根据虚功原理 有两边消去即其中将 和 的表达式合写在一起就是其中小结： （1）本章从设置位移函数（也称为位移插值函 数或试探函数）出发，利用虚功原理导出了局 部坐标系下的杆单元的有限元计算格式，利用 前一章的坐标变换矩阵T，就可以将它转换到 整体坐标系下，然后将各单元的刚度矩阵按照 节点力平衡的原理，经过叠加，即可得到总体 刚度矩阵。 （2）本章的方法具有一般性。 （3）位移插值函数的选择与单元节点的数目有 关。一般不可能精确描述单元内各点真实的位 移情况。