求圆锥曲线方程的常用方法轨迹法定义法待定系数法建系设点写集合列方程化简证明 静例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。O3-5A xym解法一轨迹法思考：如何化去绝对值号？P点在直线左侧时，|PH| -5P如图 ，PH例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。3-5Axym解法一 轨迹法解法二 定义法如图 ，-3n作直线 n：x = -3则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。P（x，y）故，点P的轨迹是以为焦点， 以为准线的抛物线 。An依题设知 x -5,y 2 =12x轨迹法定义法待定系数法静音练习1练习2由题设条件 ，根据圆锥 曲线的定义 确定曲线的 形状后，写 出曲线的方 程。 例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。求：该椭圆方程。O解xyACBO|BC| =如图 ，设椭圆的另一个焦点为DD以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。设椭圆方程为（ab0)则|AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a 所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a即例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。求：该椭圆方程。O解xyACBO得D|AD| + |AC| = 2a|AC| = |AD| = 在ADC中|DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ ）2 + 16 = 242cc2= 6，b2= a2c2= （2 + ）2 - 6 =故所求椭圆方程为 注：重视定义！轨迹法定义法待定系数法静音练习1练习2例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.（1）分析：如图XOY2424M抛物线开口向右，根据点M（2，4） 可求焦参数p，进而可求焦点。设抛物线：y2 = 2px ，p0 ,将点M代入解得 p = 4故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)F例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.XOY2424MF抛物线方程：y2 = 8x ，焦点F（2，0 ）设椭圆、双曲线方程分别为-则a2 - b2 = 4 ，m2 + n2 = 4 ；又-解得：例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.XOY2424MF抛物线：y2 = 8x- -椭圆、双曲线方程分别为-例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.XOY2424MF抛物线：y2 = 8x椭圆、双曲线方程分别为-（2）分析：如图 （m，0 ）（a，0）P椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|，P为抛物线上的一点，三角形的高为|yp|，（xp，yp）= 由题设得 6= S|a-m|yp|例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.F抛物线：y2 = 8x椭圆、双曲线方程分别为- （m，0 ）（a，0）PXOY2424M（xp，yp）= 由题设得 6= S|a-m|yp| 易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=33即yp=， 将它代入抛物线方程得 xp= 故所求P点坐标为 （ ，3 ）和（ ，-3 ）注解！例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.F抛物线：y2 = 8x椭圆、双曲线方程分别为- （m，0 ）（a，0）PXOY2424M（xp，yp）= 由题设得 6= S|a-m|yp| 易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=33即yp=， 将它代入抛物线方程得 xp= 故所求P点坐标为 （ ，3 ）和（ ，-3 ）注解！例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.F抛物线：y2 = 8x椭圆、双曲线方程分别为- （m，0 ）（a，0）PXOY2424M（xp，yp）点评：待定系数法是求曲线方程的最常用方法 。轨迹法定义法待定系数法练习1练习2小结作业.已知定点M（1，0）及定直线L：x=3，求到M和L 的距离之和为4的动点P的轨迹方程。.动圆M和 y 轴相切，又和定圆相外切，求动圆 圆心M的轨迹方程。3.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，一 条准线为 x=1，直线L过左焦点F，倾角为45， 交椭圆于A，B两点，若M为AB的中点且AB与OM的夹 角为arctan2时，求椭圆的方程。例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。3-5Axym解法一 轨迹法解法二 定义法如图 ，-3n作直线 n：x = -3则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。P（x，y）故，点P的轨迹是以为焦点， 以为准线的抛物线 。An依题设知 x -5,y 2 =12x返回本题已知Q点是双曲线C上的任意一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，过任一焦点作F1QF2的角平分线的垂线，垂足为M。求点M的轨迹方程并画出它的图形。思考题