平面点集 和区域多元函数 的极限多元函数 连续的概念极 限 运 算多元连续函数 的性质多元函数概念第9章 多元函数微分法及其应用1高阶偏导数隐函数 求导法则复合函数 求导法则全微分形式 的不变性多元函数 的极值全微分 概念偏导数 概念21、区域（1）邻域连通的开集称为区域或开区域.（2）区域设 是平面上的一个点, .与点 的距离小于 的点 的全体, 称为点 的 邻域, 记为 , 即3（3）聚点设 E 是平面上的一个点集, P 是平面上的一个点, 如果点 P 的任何一个去心的邻域内总有无限多个 点属于点集 E, 则称 P 为 E 的聚点.2、多元函数概念z = f (x, y) 或 z = f (P) , 个点 , 变量 z 按照一定的法则总有确定定义设 D 是坐标平面上的一个点集, 如果对于每的值和它对应, 则称 z 是变量 x, y 的二元函数, 记为43、多元函数的极限都有 成立, 则称 A 为函数 f (x, y)当 时的极限, 记为 总存在正数 , 使得当点 时,或定义: 设函数 f (P) = f (x, y) 的定义域为 D,是其聚点. 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 ,5说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似64、多元函数的连续性定义:为 D 的聚点. 设二元函数 f (P) = f (x, y) 的定义域为 D, 如果函数 f (x, y) 在 不连续, 则称 为函数 f (x, y)的间断点.在点 连续.则称函数 f (x, y)如果 且 ,7在有界闭区域D上的多元连续函数, 在D上至少取 得它的最大值和最小值各一次.在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果在D上取 得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值 之间的任何值至少一次.（1）最大值和最小值定理（2）介值定理5、多元连续函数的性质86、偏导数概念义, 当 y 固定在 而 x 在 处有增量 时, 相应地函数有增量 , 如果 存在, 则称此极限为函数 z=f (x, y) 在点 处对 x 的偏导数, 定义或设函数 z=f (x, y) 在 的某邻域内有定记为9同理可定义函数 z = f (x, y)在点 处对 y 的偏导数: 或如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内任一点 (x, y) 处对 x (或y)的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是 x, y的函数, 称为函数 z = f (x, y) 对自变量 x (或y)的偏导函数, 记作107、高阶偏导数纯偏导混合偏导118、全微分概念如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的全增量可以表示为其中 A, B 不依赖于而仅与 x, y 有关,点 (x, y) 可微分, 称为函数在点 (x, y) 的即则称函数在全微分, 记作12多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导139、复合函数求导法则全导数全导数141510、全微分形式不变性无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数, 它的全微分形式是一样的.1611、隐函数的求导法则直接求导法1712、多元函数的极值定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值值的点称为为极值值点.18多元函数取得极值的条件一阶偏导数同时为零的点, 均称为多元函数的驻点.极值点注意驻点19, 2021条件极值：对自变量有附加条件的极值22