第三节 简单的线性规划v1二元一次不等式表示平面区域v(1)二元一次不等式AxByC0在平面 直角坐标系中表示直线l：AxByC0 某一侧所有点组成的v，直线l应画成，Ax ByC0，表示直线l所有点 组成的v，画不等式AxByC0(或 0)所表示的平面区域时，应把边界直线 画成平面区域虚线另一侧平面区域实线v(2)若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l： AxByC0的同侧，则Ax0By0C与 Ax1By1Cv若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：Ax ByC0的异侧，v则Ax0By0C与Ax1By1C v(3)二元一次不等式组所表示的平面区域 是各个不等式所表示的平面点集的， 即各个不等式所表示的平面区域的同号异号交集公共部分v(1)判断不等式AxByC0所表示的平 面区域，可在直线AxByC0的某一 侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点 或坐标轴上的点来验证AxByC的正负 当C0时，常选用原点(0,0)v(2)画不等式AxByC0表示的平面区 域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax ByC0表示的平面区域时，边界直线 应为实线画二元一次不等式表示的平面 区域，常用的方法是：直线定“界”、原点 定“域”，即先画出对应的直线，再将原点 坐标代入直线方程中，看其值比0大还是 比0小；不等式组表示的平面区域是各个 不等式所表示的平面点集的交集，即它们 平面区域的公共部分v2线性规划中的基本概念名称意义 约束条件 由变量x，y组成的 线性约束 条件由x，y的 不等式(或方程)组成 的不等式(组) 目标函数 关于x，y的函数 ，如z 2x3y等 线性目标 函数关于x，y的 解析式可行解满足线性约束条件的解 可行域所有可行解组成的 最优解使目标函数取得 或 的可行解 线性规划 问题在线性约束条件下求线性目标函数 的 或问题不等式(组)一次解析式一次(x，y)区域最大值最小值最大值 最小值v(1)最优解可有两种确定方法：v将目标函数的直线平行移动，最先通过 或最后通过的顶点便是最优解v利用围成可行域的直线的斜率来判断 若围成可行域的直线l1，l2，ln的斜率 分别为k1k2kn，而且目标函数直 线的斜率为k，则当kikki1时，直线li 与li1相交的点是最优解v(2)利用图解法解决线性规划问题的一般 步骤：v作出可行域将约束条件中的每一个不 等式当作等式，作出相应的直线，并确定 原不等式表示的半平面，然后求出所有半 平面的交集v作出目标函数的等值线v求出最终结果在可行域内平行移动目 标函数等值线从图中能判定问题有唯一 最优解，或者是有无穷最优解，或是无最 优解v当表示线性目标函数的直线与可行域的某 一边平行时，其最优解可能有无数多个v1目标函数z3xy，将其看成直线方 程时，z的意义是 ( )vA该直线的截距 vB该直线的纵截距vC该直线的纵截距的相反数 vD该直线的横截距v【解析】 令x0得zy，vz的意义是该直线在y轴上截距的相反数 v【答案】 C【答案】 B【答案】 C【答案】 (1,4)或(11,4)v【解析】 可行域如图所示，作直线y x，当平移直线yx至点A处时，sx y取得最大值，即smax459.【答案】 9v (1)如图，ABC中，A(0,1)，B(2,2) ，C(2,6)，写出ABC区域所表示的二元 一次不等式组v【思路点拨】 (1)通过三点可求出三条 直线的方程，而后利用特殊点验证因三 条直线均不过原点，故可由原点(0,0)验证 即可v(2)找出关键点A、B、C.知ABy轴，可求 |AB|长及C点到AB的距离v【解析】 (1)由两点式得直线AB、BC、 CA的方程并化简得v直线AB：x2y20，直线BC：xy 40，v直线CA：5x2y20.v原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代 入到各直线方程的左端，结合式子的符号 可得不等式组为 【答案】 Dv(1)z2xy，y2xz，v当直线y2xz经过可行域内点M(2,3) 时，v直线在y轴上的截距最大，z也最大v此时zmax2237.v当直线y2xz经过可行域内点A(1,2) 时，v直线在y轴上的截距最小，z也最小v此时zmin2124.v所以z的最大值为7，最小值为4.v(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线xy3 0，垂足为N，则直线l的方程为yx，v线性规划求最值问题，要充分理解目标函 数的几何意义，诸如直线的截距、两点间 的距离(或平方)、点到直线的距离、过已 知直线两点的直线斜率等v 制定投资计 划时，不仅要考虑可能 获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏 损某投资人打算投资甲、乙两个项目 ，根据预测 ，甲、乙两个项目可能的最 大盈利率分别为 100%和50%，可能出现 的最大的亏损率分别为 30%和10%，投资 人计划投资金额不超过10万元v为了确保资金亏损不超过1.8万元，请你 给投资人设计 一投资方案，使得投资人 获得的利润最大v(1)认真审题分析，设出未知数，写出线 性约束条件和目标函数v(2)作出可行域v(3)作出目标函数对应的直线l.v(4)在可行域内平行移动直线，从图中能 判定问题有唯一最优解，或是有无穷最优 解或无最优解v(5)求出最优解，从而得到目标函数的最 值v2某工厂生产甲、乙两种产品，计划每 天每种产品的生产量不少于15吨，已知 生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时 ，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨， 电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的 利润为 7万元，乙产品每吨的利润为 12万 元；但每天用煤不超过300吨，电力不超 过200千瓦时，劳力只有300个问每天 生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使 利润总额 达到最大？v作出一组平行直线7x12yt，当直线经 过直线4x5y200和直线3x10y300 的交点A(20,24)时，利润最大v即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨 时，利润总额最大，zmax7201224 428(万元)v【答案】 每天生产甲产品20吨，乙产品 24吨，才能使利润达到最大v本节以考查线 性目标函数的最值为 重点 ，兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、 距离、面积等)多在选择 、填空题中出 现，有时会在解答题中出现，常与实际 问题 相联系，列出线性约束条件，求出 最优解【答案】 Av2(2009年山东卷)某公司租赁甲、乙两 种设备 生产A，B两类产 品，甲种设备 每 天能生产A类产 品5件和B类产 品10件， 乙种设备 每天能生产A类产 品6件和B类 产品20件已知设备 甲每天的租赁费为 200元，设备 乙每天的租赁费为 300元， 现该 公司至少要生产A类产 品50件，B类 产品140件，所需租赁费 最少为_ 元v【答案】 2 300