第1页 *函数的最大(小)值夏建岭第2页 *1.理解函数最大(小)值及其几何意义.2.能利用函数的图象求最大(小)值.3.会求简单函数在闭区间上的最大(小)值.学习目标：第3页 *1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)_,(2)_.那么我们称M是函数y=f(x)的最大值.2.仿照函数最大值的定义,请你给出函数y=f(x)最小值的定义. 答案1.对于任意的xI,都有f(x)M 存在x0I,使得f(x0)=M2.设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M.(2)存在x0I使得f(x0)=M.那么,我们称M为函数y=f(x)的最小值.第4页 *2.函数的最值与值域(1)函数的最大值和最小值统称为函数的最值.(2)函数y=f(x)的最值是函数图象最高点与最低点的纵坐标.(3)一个函数一定存在值域,但不一定存在最值(当值域是开区间时),最值是值域为闭区间时的端点值.第5页 *3.函数的最值与单调性的关系(1)若函数y=f(x)在闭区间上是增函数,则f(x)在上有最大值f(b),最小值f(a);(2)若函数y=f(x)在闭区间上是减函数,则f(x)在上有最大值f(a),最小值f(b).第6页 *题型一 利用函数图象求最值例1:求函数f(x)=x2-6x+5在区间-1,5上的最值.分析:f(x)=x2-6x+5=(x-3)2-4,作出函数f(x)的图象,利用最值的几何意义求出最值.第7页 *解:f(x)=(x-3)2-4,其图象如下图所示.第8页 *由图象知,3-1,5,当x=3时,f(x)有最小值f(3)=-4.又f(-1)=(-1-3)2-4=12,而f(5)=(5-3)2-4=0,当x=-1时,f(x)有最大值f(-1)=12.综上知,函数f(x)在区间-1,5上的最大值为12,最小值为-4.第9页 *规律技巧:求二次函数在闭区间上的最值,若区间在对称轴同一侧,则f(a),f(b)就是最值;若对称轴在区间内,则抛物线的顶点就是最大值或最小值.然后求区间端点值,再确定另一个最小值或最大值,最好结合图象作答.第10页 *变式训练1:函数y=f(x)的图象如下图所示.写出该函数的最值及单调区间.第11页 *解:由图象知,当x=-1时,函数有最小值-2;当x=2时,函数有最大 值3.增区间是-1,0,;减区间是-2,-1,. 第12页 *题型二 利用函数的单调性求最值例2:求函数 在上的最值.分析:先利用定义判断函数的单调性,再求最值.第13页 *解:设1x10,f(x)在上是减函数.当20时,f(x)x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).x1x2,x1-x20.又x0时,f(x)0有意义,且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)为增函数.(1)求证:f(1)=0;(2)求f(4);(3)如果f(x-3)2,求x的范围.第21页 * 解:(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1), f(1)=0. (2)令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2. (3)由f(x-3)2,得f(x-3)f(4), 于是 x-30 x-34x3x7 30时, a(-1)+b=1,a3+b=3,解得当a0)在区间上的最大值和最小值为( )A.2a+1,1 B.1,2a+1C.a+1,1 D.1,1-aA第27页 *4.(2010保定一模)函数f(x)=x2+2x-1,x-3,2的最大值最小值分别为( )A.9,0 B.7,3C.2,-2 D.7,-2解析:f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,当x=-1时,有最小值-2,当x=2时,有最大值7.D 第28页 *5.函数f(x)= 2x+6,1x2,x+3,-1x1,则f(x)的最大值,最小值分别为( )A.10,8 B.4,2C.8,4 D.10,2D 第29页 *6.函数 ,(a为常数),x-3,-1的最大值与最小值之差为_.解析:易知 在x-3,-1上是增函数,当x=-1时,y有最大值1+a,当x=-3时,y有最小值 ,最大值与最小值之差为第30页 *7.函数 在区间上的值域为_.54,2第31页 *8.已知函数y=x2-2x+3在闭区间上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是_.解析:y=x2-2x+3=(x-1)2+2,作出图象,由图象知,1m2.，第32页 *能力提升9.函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a0)在上有最大值5和最小值2,求a,b的值.解:由f(x)=ax2-2ax+2+b的对称轴为x=1知,无论f(x)的单调性怎样,f(x)在上存在最值的情况有两种:f(2)=2,f(3)=5,或f(2)=5,f(3)=2. 解得：a=1,b=0, 或a=-1,b=3.第33页 * 解析:由题意知,函数的最大值只可能在x=1或x=3时取到,若在x=1时取到,则|1-2-t|=2, t=1或t=-3. 当t=1,x=3时,y=2; 当t=-3,x=3时,y=6(舍去). 若在x=3时取到,则 |9-6-t|=2,t=1或t=5, 当t=1,x=1时,y=2; 当t=5,x=1时,y=6(舍去), 综上讨论知,t=1.第34页 *12.(2008江苏)已知二次函数f(x)满足f(0)=1和f(x+1)- f(x)=2x.(1)求f(x);(2)求f(x)在区间-1,1上的最大值和最小值.分析:(1)利用待定系数法求解析式;(2)结合二次函数的知识求最值.