8-6 高斯公式与斯托克斯公式格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲 线积分之间的关系。而在空间上，高斯公式表达了空间区域 上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。定理1 (高斯公式 )则有1.高斯公式记做，则高斯公式可写成上式在物理上称为向量 通过曲面的通量即： 通过闭曲面的通量，等于其散度在所 包围的区域 上的三重积分记的散度， 定义 为向量函数（场） 证对于一般的区域 则可引进辅助面将其分割成若干个 与上类似的小区域, 则在每个小区域上式成立.故上式仍成立 .然后相加,因为在辅助面正反两侧面积分正负抵消, 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知使用Guass公式时应注意验证条件:1. 是取闭曲面 的外侧；.是封闭曲面；2例1 求其中 是球面 的外侧.解记球面 所 包围的球体为 ，由高斯公式，有由于球体关于 平面对称，且 是 的奇函数，因此同理有于是例 2 求曲面积分其中 是锥面 中的部分 的外侧.o解 取平面则 组成封闭曲面.记 围成的区域为 ， 于是有因为所以由对称性知又最后得0xzy11定理（斯托克斯公式） 设 为分片光滑的双侧曲面，其边界 是一条或几条分段光滑 的闭曲线 假定在 上取定一侧的单位法向量为 ,再规定的定向，使得 的定向与 的指向构成右手系，记 及 分别为给定的上述定向后的 及 ，斯托克斯公式2. 斯托克斯公式斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿 S的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系.注意: 则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果 S 是 xoy 坐标平面上的一块平面区域, 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:若记并定义称作向量场 的旋度.证情形1 S 与平行 z 轴的直线只交于一点, 设其方程为为确定起见, 不妨设S 取上侧 (如图). (利用格林公式) 则因此同理可证三式相加, 即得斯托克斯公式 ;情形2 曲面S 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 S 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕内容小结1. 高斯公式2. 斯托克斯公式例 4 求其中 为球面 与柱面 的交线，且 与球面的上侧成右手系.解 记 所围的球面部分为 ，并取 的上侧为 的方程为代入第五节中公式（8.10）得由于 关于 轴对称，其中区域关于 的奇函数的部分为 .于是例 5 求其中 为椭圆周： ，从 轴正向看去， 为逆时针方向.解 记 所围的椭圆为 ，取 的上侧，即 的法 方向与 轴成锐角，这时 的正向与 指定一侧的法向 量成右手系.又因 是平面，其上各点的法向量都相等，即为常向量 ，故其单位法向量为=由斯托克斯公式（8.31),并注意椭圆 的长、短半轴分别为 及 ，则有