1等可能条件下的概率等可能条件下的概率本章总结提升问题 1 直接利用概率公式求概率在什么条件下，可以利用概率公式求随机事件的概率？概率公式P 中的“m”和m n“n”分别表示什么含义？例 1 将“定理”的英文单词“theorem”中的 7 个字母分别写在 7 张相同的卡片上，字 面朝下随意放在桌子上，任取一张卡片，那么取到字母 e 的概率为_ 【归纳总结】利用概率公式求概率的关键点：(1)等可能条件下的总数n；(2)符合条件的数目m；(3)用 求出概率m n问题 2 利用列表法、画树状图法求概率 一般情况下求概率有哪些具体的方法？它们各有什么特点？在具体运用这些方法时有什 么注意事项？ 例 2 一只不透明的袋子中装有 1 个红球、2 个黄球，这些球除颜色不同外其余都相 同小明将球搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个 球用树状图或表格列出摸出球的所有等可能结果，并求两次摸出的都是红球的概率2例 3 2017陕西端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗节日期间，小邱 家包了三种不同馅的粽子，分别是红枣粽子(记作A)，豆沙粽子(记作B)，肉粽子(记作 C)这些粽子除了馅不同，其余均相同粽子煮好后，小邱的妈妈在一个白盘中放入了两个 红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；在一个花盘中放入了两个肉粽子、一个红枣粽子和 一个豆沙粽子 根据以上情况，请你回答下列问题： (1)如果小邱从白盘中随机取一个粽子，那么恰好取到红枣粽子的概率是多少？ (2)若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取 一个粽子，请用列表法或画树状图法求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙 粽子的概率【归纳总结】利用列表法、画树状图法求概率的关键点：(1)列表法、画树状图法需要 不重不漏地列(画)出所有等可能的结果；(2)列表法适合两步完成的事件，画树状图法适合 两步或两步以上完成的事件；(3)解题时要注意题目中是放回试验还是不放回试验问题 3 几何图形中涉及面积的概率求法 当一个试验的结果有无限多个且每个试验结果的出现都有等可能性，这类问题多与面积 有关，如何将“等可能条件下的概率(二)(几何概型)”转化为“等可能条件下的概率(一) (古典概型)”？ 例 4 如图 4T1 是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴 影转动转盘，指针落在阴影区域内的概率为a；如果投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 的概率为b，那么a，b的大小关系是( )图 4T1 Aab Bab Cab D不能判断 全品导学号：16052139 【归纳总结】几何图形中涉及面积的概率求法：P.事件中所有可能发生结果所组成的图形面积 所有可能结果组成的图形面积3问题 4 利用概率来判断游戏是否公平 用概率来判断游戏是否公平的方法是什么？如何判断游戏是否公平？结合本章内容，说 说你对概率的理解以及概率在实践中的作用 例 5 甲、乙两名同学玩摸球游戏，他们把三个分别标有 1，2，3 的大小和形状完全相 同的小球放在一只不透明的口袋中 (1)求从袋中随机摸出 1 个球，标号是 1 的概率 (2)从袋中随机摸出 1 个球然后放回，摇匀后再随机摸出 1 个球，若两次摸出的球的标 号之和为偶数，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数，则乙胜这个游戏公平吗？请 说明理由【归纳总结】游戏的公平性是通过概率来判断的在条件相同的前提下，若参加游戏的 每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平 问题 5 方程思想 当已知一个随机事件发生的概率，求未知数量时，你首先想到的方法是什么？ 例 6 一只不透明的口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出 1 个球是黄球的概率是.52(1)取出 1 个球是绿球的概率是多少？ (2)如果袋中的黄球有 18 个，那么袋中的绿球有多少个？【归纳总结】用方程知识解决概率问题，体现了数学知识的相互交融，同时也体现了方 程思想的重要性4详解详析详解详析 【整合提升】例 1 1 答案 2 7解析 英文单词“theorem”中，一共有 7 个字母，其中字母e有 2 个，任取一张卡片，取到字母e的概率为 .2 7例 2 2 解：画树状图，得共有 9 种等可能的结果，两次摸出的都是红球的情况只有 1 种，两次摸出的都是红球的概率为 .1 9例 3 3 解：(1)共有 4 种等可能的结果，而取到红枣粽子的结果有 2 种，所以 P(取到红枣粽子) .1 2(2)将两个红枣粽编记为 A1，A2，两个肉粽子记为 C1，C2.列表如下：ABC1C2A1(A1，A)(A1，B)(A1，C1)(A1，C2)A2(A2，A)(A2，B)(A2，C1)(A2，C2)B(B，A)(B，B)(B，C1)(B，C2)C(C，A)(C，B)(C，C1)(C，C2)由上表可知，取到的两个粽子共有 16 种等可能的结果，而一个是红枣粽子，一个是豆沙粽子的结果有 3 种，则 P(取到一个红枣粽子、一个豆沙粽子).3 16例 4 4 解析 B 根据正六边形的性质可得题图中六个三角形的面积相等，则指针落在阴影区域的概率为 ，即 a ；1 21 2投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，即 b ，则 ab.1 21 2例 5 5 解析 (1)直接利用概率的定义求解；(2)先用列表法或者画树状图法求出概率， 再利用概率判断游戏的公平性解：(1)P(标号是 1) .1 3(2)这个游戏不公平理由如下： 列表如下：第二次和第一次1231234234534565P(两次摸出的球的标号之和为偶数) ，P(两次摸出的球的标号之和为奇数) ，5 94 9二者不相等，说明游戏不公平例 6 6 解：(1)P(取出绿球)1P(取出黄球)1 .2 53 5(2)设袋中的绿球有 x 个根据题意，得 ，解得 x27.18 x182 5经检验，x27 是原方程的解且符合题意 答：袋中的绿球有 27 个 【专题阅读】概率、代数、几何巧联姻 河北 欧阳庆红 新课标实施以来，概率问题成为新增的一道亮丽风景线，成为中考必考知识点之一中 考试题在具体情境中体会概率意义的同时，增加了同其他数学知识的联系，展示了数学的整 体性现收集部分试题进行归类，希望对同学们的学习有所帮助 一、概率与实数例 1 1 在 5 张不透明卡片上分别写有实数， ， ，3.14，从中随机抽取 1 张卡片，22 72 227抽到无理数的概率是_答案 3 5解析 本题考查了无理数的概念和计算概率的方法，它主要考查运用列举法计算事件 发生的概率，从 5 张不透明的卡片中随机抽取 1 张，有 5 种等可能的结果，其中抽到写有无理数的卡片的情况有 3 种，所以概率是 .正确判断， ，是无理数为解题关键3 52 227二、概率与分数 例 2 2 从 14 这 4 个数中任取一个数作分子，从 24 这 3 个数中任取一个数作分母， 组成一个分数，则出现分子、分母互质的分数的概率是_答案 7 12解析 列表如下：分子 分母 123421 22 23 24 231 32 33 34 341 42 43 44 4由表可知，可得 12 个分数，其中分子、分母互质的分数有 7 个， 所以出现分子、6分母互质的分数的概率是.7 12三、概率与方程 例 3 3 在一只不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的小球若干个，它们只有颜色上的不同，其中有白球 2 个、黑球 1 个已知从中任意摸出 1 个球是白球的概率为 .1 2(1)求口袋中有多少个红球； (2)求从袋中一次摸出 2 个球，摸得一红一白的概率(要求画出树状图) 解析 (1)根据列举法求概率来列方程；(2)通过画树状图求概率解：(1)设口袋中有 x 个红球，根据题意，得 ，解得 x1.经检验，x1 是2 x211 2原方程的解且符合题意，口袋中有 1 个红球 (2)将两个白球编号为白1，白2.画树状图如下：P(摸得一红一白) .4 121 3四、概率与几何例 4 4 在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片 上分别写有如下四个等式中的一个等式： ABDC；ABEDCE；AEDE；AD.小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张请 结合图形解答下列两个问题： (1)当抽得和时，用作为条件能判定BEC 是等腰三角形吗？说说你的理由； (2)请你用画树状图或列表的方法表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果(用序 号表示)，并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使BEC 不能构成等腰三角形的概 率 解析 (1)根据“角角边”可判定ABEDCE，从而得到 BECE. (2)通过画树状 图分析抽取的两张纸片上的等式可能出现的结果，分析不能构成等腰三角形的情况，即可求 出概率 解：(1)能. 理由：由ABEDCE，AEBDEC，ABDC，得ABEDCE， BECE，BEC 是等腰三角形 (2)画树状图如下：7所有可能出现的结果(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)， (，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，) 由树状图可以看出，抽取的两张纸片上的等式可能出现的结果有 12 种，它们出现的可 能性相同，其中不能构成等腰三角形的结果有 4 种，所以使BEC 不能构成等腰三角形的概率为 .1 3思考题：在随机现象中，当一次试验要涉及两个或两个以上因素(或步骤)，可能出现的 结果种数较多时，可采用什么方法列举所有可能的结果，再根据什么公式计算概率？解：用列表法、画树状图法列举所有可能出现的结果，根据 P(A) 计算概率 m n