回顾力对时间的累积效应力对时间的累积效应动量定理分量形式动量守恒也就是力、力矩对时间和空间的累积效应 力的空间累积效应功改变能量牛顿第二定律是瞬时的规律。力的时间累积效应：平动冲量改变动量转动冲量矩改变角动量但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微 观）我们往往只关心 过程中 力的 效果。力矩的时间累积效应定义（1）质点对定点o 的角动量方向：垂直于 组成的平面SI大小：量纲：思路:与处理动量定理 问题相同也即 J.s3.7 3.7 质点的角动量和角动量守恒质点的角动量和角动量守恒1、质点的角动量t 时刻，质点具有平动动量定义为力对定点o 的力矩(2) 力对定点的力矩大小：方向：垂直于 组成的平面量纲 ：质点以角速度 作半径 为 的圆运动，相对圆心的 角动量质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原 点的角动量大小的方向符合右手法则.力矩的时间累积效应 冲量矩-角动量力的时间累积效应 冲量-动量-动量定理 2、 质点的角动量定理学过：作用于质点的合力对参考点 O 的 力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.力矩的时间累积效应为冲量矩质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.注意注意角动量与动量是两个不同的物理量，角动量方向为角速度的方向，动量的方向为速度的 方向。例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的 小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的 点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球 与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和 角速度.解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理B考虑到得由题设条件积分上式质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量. 3 3、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律由角动量定理恒矢量 对于不同的参考点，力矩和角动量都可能不同，因 此，角动量是否守恒，不仅与质点受力情况有关，而且 与参考点的选择有关。例3.13 图3-28所示，质点m作圆锥摆动，设质点的速率v、圆 半径R及锥角为已知（容易证明v、R和中只有两个是独立参 量，为书写方便，视为已知量）。（1）以圆心O为参考点，试 求张力力矩、重力力矩、合力力矩和质点角动量；（2）以悬 挂点A为参考点，试求张力力矩、重力力矩、合力力矩和质点 角动量；（3）对圆心O和悬挂点A，质点角动量是否守恒？解 （1）根据（3-44）式，张力FT对圆心O的力矩为M1=RFT 根据矢量叉积的定义，M1的方向与图中v方向相反，M1的大小 为 M1=RFTsin（ +）=RFTcos。重力对圆心O的力矩为 M2=Rmg由于FT = ，则M1=mgR。其方向与图中v的方向相同，其大小 M2=Rmgsin =mgR。对O点的合力矩为 M0= M1+ M2=0根据质点角动量定义，质点 m对圆心O的角动量为L0=Rmv其方向竖直向上，大小为L0=Rmvsin =Rmv。（2）张力对悬挂点A的力矩为 M3=rFT=0重力对A点的力矩为 M4=rmg其方向与v相同，大小为M4=rmgsin=Rmg。对A点的合力矩为 M= M3+ M4其方向与v相同，大小为M=Rmg。质点m对悬点A的角动量为 L=rmv其方向如图，大小为LA=r m v sin = 。（3）对圆心O的合力矩M0=0，因此质点对O点的角动量守恒，即其大小、方向都不变。对悬点A的合力矩MA0，因此质点对A点的角动量不守恒。计算结果表明，运动过程中质点对悬挂点A的角动量大小不变，但方向不断变化。1）角动量守恒定律的条件2）动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律3） 有心力力始终过某一点 central force如：行星在速度和有心力所组成的平面内运动角动量守恒如行星运动动量不守恒角动量守恒讨论开普勒第二定律掠面速度角动量守恒就是掠面速度相等常矢量m例 如图所示，用轻绳系一质量为m的小球，使之在光滑水 平面上作圆周运动。开始时半径为r0，速率为v0。绳的另一 端穿过平面上的光滑小孔，现用力T向下拉绳，使小球运动 半径减小。试求(1) 当运动半径缩小至r时，小球的速率v？ (2) 若以速度u匀速向下拉绳，求(t)和T(t)。解解(1) 拉绳过程中，小球受到重力和支持力是平衡力，而绳子的拉力总 指向圆心，对圆心的力矩为零，因 此小球所受的合外力对圆心的力矩 为零，对圆心的动量矩守恒。所以(2) 由 ，有根据题意知故由式(1)、(2)可得由于小球受到绳子的拉力提供向心力，根据 牛顿第二定律，并联立式(2)和(3)，有例：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦 点上，系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？近日点远日点解：在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有引力作用，万有引力不产生力矩，系统角动量守恒。由质点的角动量定义：即即近日点远日点近日点 r 小 v 大，远日点 r 大 v 小，这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。3.8 对称性与守恒定律 一、对称性一、对称性把所讨论的对象，称为系统。同一系统可以处于不同的状 态，这不同的状态可能是等价的，也可能是不等价的。 把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作变换，或者称 给系统一个“操作”。 如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说该系统对这一操作是对称的，而这个操作就称为该系统的一个对称操作。由于变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性。例如平移、转动、镜像反射、时空坐标的改变、尺度的放大缩小都可视为操作。二、守恒定律与对称性二、守恒定律与对称性1. 时间平移对称性与能量守恒定律 dE（t+dt）= dE（t） 在物理学中，我们始终承认和应用着一个假定，即时间具有 均匀性。时间均匀性也叫时间平移对称性，它意味着当应用 物理定律时，任意时刻都可被选作时间坐标轴的原点，即在 时间平移变换tt+t下，物理定律保持不变。与时间平移 对称性对应的是能量守恒定律。上式表明，孤立系统总能量保持不变。如果时间平移不是微小 量t，而是一个较大量t，将t看成是若干个微小量t之和，用 上述方法进行若干次变换，可得到同样的结果。这样就从时间 均匀性导出了能量守恒定律。2. 空间平移对称性与动量守恒定律 两质点系统总动量守恒，对于 n 个质点组成的系统也同样可得到这个结果。这样就从空间均匀性导出了动量守恒定律在平直空间的条件下，我们始终承认和应用着一个假定，即空间的均匀性。空间的均匀性意味着，应用物理规律时，移动坐标原点，物理规律的形式不会改变。空间均匀性也称作空间平移对称性。也就是说，物理规律对于空间平移变换具有对称性。与空间平移对称性对应的是动量守恒定律。3. 空间旋转对称性与角动量守恒定律 故质点m对原点o 角动量守恒。这样就从空间各向同性导出了质点的角动量守恒定律。空间各向同性可理解为在平直空间中任何方向发生的物理现象都服从相同的物理规律，即物理规律不随空间的方向不同而改变。空间各向同性也叫做空间旋转对称性。与空间旋转对称性相对应的守恒定律是角动量守恒定律。4. 对称性是基本规律之上更高层次的法则 物理学中的各种定律的层次，适用于物理学的某个领域胡克定律、电学中的欧姆定律等，都是经验性的牛顿定律统帅整个经典力学麦克斯韦方程组统帅整个电磁学对称性原理是跨越物理学各个领域的普遍法则，是各领域的基本规律之上更高层次的法则。