1课时达标检测（四十二）课时达标检测（四十二） 抛抛 物物 线线小题对点练点点落实对点练(一) 抛物线的定义及其应用1已知AB是抛物线y28x的一条焦点弦，|AB|16，则AB中点C的横坐标是( )A3 B4 C6D8解析：选 C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p16，又p4，所以x1x212，所以点C的横坐标是6.x1x2 22设抛物线y212x上一点P到y轴的距离是 1，则点P到该抛物线焦点的距离是( )A3B4 C7D13解析：选 B 依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x3 的距离，即等于 314.3若抛物线y22x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )A.B.(1 4， 22)(1 4， 1)C.D.(1 2， 22)(1 2， 1)解析：选 A 设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|PF|，过点P作PMOF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP ，代入y22x，得yP，所以P.1 422(1 4， 22)4已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1 的右焦点重合，抛物线的准线与x2 7y2 9x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|AF|，则AFK的面积为( )2A4B8 C16D32解析：选 D 由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)过点A作直线AA垂直于抛物线的准线，垂足为A，根据抛物线定义知，|AA|AF|，在AAK中，|AK|AA|，2故KAA45，所以直线AK的倾斜角为 45，直线AK的方程为yx4，代入抛物线方程y216x得y216(y4)，即y216y640，解得y8，x4.所以AFK为直角三角形，故AFK的面积为 8832.1 225已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A21B2255C.1D.21717解析：选 C 由抛物线定义可知，点P到准线的距离可转化为其到焦点F的距离，即求|PQ|PF|的最小值设圆的圆心为点C，因为|PQ|PC|1，所以|PQ|PF|PC|1|PF|FC|11，故选 C.176抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为 1，则p_.解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为 ，则 1，解得p 2p 2p2.答案：27(2018河南三门峡模拟)过抛物线y24x的焦点F且倾斜角为的直线交抛物线 4于A，B两点，|FB|FA|_.解析：抛物线y24x的焦点F(1,0)，准线为x1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!可得x26x10，解得x132，x232，22由抛物线的定义可得|FA|x1142，|FB|x2142，则22|FB|FA|4.2答案：42对点练(二) 抛物线的标准方程及性质1抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10 所得弦长为 2，则p( )A1B2 C4D6解析：选 B 抛物线y22px(p0)的准线为x ，而圆化成标准方程为x2(y1)p 222，圆心M(0,1)，半径r，圆心到准线的距离为 ，所以22()2，解得2p 2(p 2)(2 2)2p2.2设O是坐标原点，F是抛物线y24x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正方向的夹角为 60，则OAF的面积为( )A.B2 32C.D13解析：选 C 过点A作ADx轴于点D，令|FD|m，则|FA|2m,2m2m，m2，所3以|AD|2，所以SOAF 12.31 2333直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为(3,2)，则抛物线C的方程为( )Ay22x或y24xBy24x或y28xCy26x或y28xDy22x或y28x解析：选 B 由题可得直线l的方程为yk，与抛物线方程C：y22px(p0)联(xp 2)立，得k2x2k2px2px0.AB的中点为M(3,2)，Error!解得k1 或k2p2 4k2，p2 或p4，抛物线C的方程为y24x或y28x.4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|( )A2B223C4D25解析：选 B 设抛物线方程为y22px(p0)，则点M(2，2)，焦点为.点p(p 2，0)M到该抛物线焦点的距离为 3，2 3，解得p2.|OM|2.p 24835某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为_米解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，依题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25，即抛物线方程为x225y.每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6、2、2、6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB，4 25|AB|43.84，即最长支柱的长为 3.84 米4 25答案：3.846抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1 相交于A，B两点，x2 3y2 3若ABF为等边三角形，则p_.解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，AB 2334所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.(33p，p2)p2 3 3p2 4 3答案：67已知F1，F2分别是双曲线 3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程得1，则F1(2a,0)，F2(2a,0)x2 a2y2 3a2抛物线的准线为x2a，联立Error!得x3a(x 舍去)，即点P的横坐标为 3a.a 3而由Error!得|PF2|6a，|PF2|3a2a6a，得a1，抛物线的准线方程为x2.答案：x2大题综合练迁移贯通1已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为 4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于 5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x ，于是 4 5，p2，抛物线方程为p 2p 2y24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA .MNFA，kMN .4 33 4FA的方程为y (x1)，MN的方程为yx2，4 33 4联立Error!解方程组得x ，y ，8 54 5点N的坐标为.(8 5，4 5)2已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，2B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值OCOAOB5解：(1)由题意得直线AB的方程为y2，2(xp 2)与y22px联立，消去y有 4x25pxp20，所以x1x2.5p 4由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，5p 4所以p4，从而该抛物线的方程为y28x.(2)由(1)得 4x25pxp20，即x25x40，则x11，x24，于是y12，y24，22从而A(1，2)，B(4,4)22设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4，4)OC22(41,42)22又y8x3，所以2(21)28(41)，2 32整理得(21)241，解得0 或2.故的值为 0 或 2.3.如图，已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若y1y28，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值解：(1)设直线AM的方程为xmyp，代入y22px得y22mpy2p20，则y1y22p28，得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知y3y42p2，y1y3p2.又直线AB的斜率kAB，y3y1 x3x12p y1y3直线MN的斜率kMN，y4y2 x4x22p y2y42.kAB kMNy2y4 y1y32p2 y12p2y3 y1y32p2 y1y3y1y3y1y3故直线AB与直线MN斜率之比为定值