数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 第7章 矩阵的特征值和特征向量很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振 动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS特征值：的根 为矩阵A的特征值特征向量：满足的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量称为矩阵A的特征多项式是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，从而求得所有特征值的近似。数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS7.1 幂法矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种 求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性无关的特征向量。在实 践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征 值和特征向量如下：特征值：特征向量：幂法可以求，基本思想很简单。数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS设线性无关，取初值，作迭代设：则有：数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS（1）若：则k足够大时，有可见几乎仅差一个常数所以：任意分量相除特征向量乘以任意数，仍是特征向量数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS（2）若：则k足够大时，有所以：所以：数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS这样，我们有算法： 1、给出初值，计算序列2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数，则3、若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常数，则4、若序列表现为其他，退出不管数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS求矩阵A的按模最大的特征值解 取x(0)=(1,0)T ,计算x(k)=Ax(k-1), 结果如下例kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263 ,x1(0.017451,0.014190)T .数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS在幂法中，我们构造的序列可以看出因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS改进幂法的规范运算则，易知：所以，有：最大分量为1数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS即（1）若：数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS时，有时，有收敛分别收敛反号的两个数数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS（2）若：分别收敛到两个数，且绝对值不同。数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS求：则：数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS这样，我们有算法：1、给出初值，计算序列2、若序列收敛，则3、若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数绝对值相同，则4、若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数绝对值不同，则数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS决定收敛的速度，特别 是 | 2 / 1 | 希望 | 2 / 1 | 越小越好。不妨设 1 2 n ，且 | 2 | | n |。12nOp = ( 2 + n ) / 2思 路令 B = A pI ，则有 | IA | = | I(B+pI) | = | (p)IB | A p = B 。而 ，所以求B的特征根收 敛快。数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS反幂法所以，A和A1的特征值互为倒数这样，求A1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值为避免求逆的运算，可以解线性方程组数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS若知道某一特征根 i 的大致位置 p ，即对任意 j i 有| i p | | j p | ，并且如果 (A pI)1存在，则 可以用反幂法求(A pI)1的主特征根 1/(i p ) ，收 敛将非常快。思 路数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS7.1 Jacobi方法对称阵P为n阶可逆阵，则A与P1AP相似，相似阵有相同的特征值。若A对称，则存在正交阵Q(QTQ=I)，使得直接找Q不大可能。我们可以构造一系列特殊形式的正交阵Q1,.,Qn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS1、Givens旋转变换对称阵为正交阵p列q列数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS记：则：变换的目的是为了减少非对角元的分量，则数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS记则的按模较小根所以：数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS2、Jacobi迭代取p,q使，则定理：若A对称，则数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS解 记 A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有例 用Jacobi 方法计算对称矩阵的全部特征值.从而有数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS从而A的特征值可取为12.125825, 28.388761, 34.485401数 学 系 University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间, 对经典的Jacobi方法可作进一步改进.1.循环Jacobi方法:按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3),(2,4),(2,n),(n-1,n)的顺序, 对每个(p,q)的非零元素apq作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至(A)为止.2.过关Jacobi方法: 取单调下降收敛于零的正数序列k,先以1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过1时,再换下一个关卡值2 ,直到关卡值小于给定的精度 .