数学建模讲义主讲人:穆学文西安电子科技大学数学系 Email:mxw1334126.com第三讲 微分方程模型动态 模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分 方程 建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程主要内容 生物单种群增长模型3.1 人口增长模型3.2 传染病模型 生物多种群增长模型3.3 正规战与游击战3.4 捕食系统的Volterra方程 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一 下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模 型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自 行建立相应的模型。 美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。 离散化为连续，方 便研究3.1 如何预报人口的增长- - -MalthusMalthus模型与模型与LogisticLogistic模型模型背景年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律控制人口过快增长指数增长模型马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式x(t) :时刻t的人口基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,不考虑移民今年人口 x0, 年增长率 rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人 口数为30.6 （即3.06109），人口增长率约为2%，人口数大 约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数 量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量 每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达21014个 ，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范 围，而到2670年，人口达361015个，只好一个人站在另一人 的肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长Malthus模型实际上只有在群体总数 不太大时才合理，到总数增大时， 生物群体的各成员之间由于有限的 生存空间，有限的自然资源及食物 等原因，就可能发生生存竞争等现 象。所以Malthus模型假设的人口净 增长率不可能始终保持常数， 它应当与人口数量有关。指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)S形曲线, x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 199031.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1继续最小二乘法设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1, n。将数据 画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很 象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而 利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的 关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望 最小此式对a和b的偏导数均 为0， 解相应方程组，求得： y=ax+byO(xi ,yi)x其中 和 分别为xi和yi 的平均值 如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数 ，则可作 变量替换使之转化为线性关系或用类似方 法拟合。用MATLAB作线性最小二乘拟合1. 作多项式f(x)=a1xm+ +amx+am+1拟合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)输出拟合多项式系数a=a1, am , am+1 (数组) ）输入同长度的数组X，Y拟合多项式次数1. lsqcurvefit 已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，ydatan） 用MATLAB作非线性最小二乘拟合Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数： lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m ，在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可 参考例题.lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数F(x,xdata)=（F（x，xdata1），F（x，xdatan）T中的参变量x(向量),使得 输入格式为:(1) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata);(2) x =lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);(3) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options,grad);(4) x, options = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,);(5) x, options,funval = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,);(6) x, options,funval, Jacob = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,);fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata说明：x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知数据点选项见无约束优化lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T 中的参量x，使得最小。其中 fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）=F(x,xdatai)-ydatai2. lsqnonlin已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan）ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）输入格式为：1） x=lsqnonlin（fun，x0）；2） x= lsqnonlin （fun，x0，options）；3） x= lsqnonlin （fun，x0，options，grad）；4） x，options= lsqnonlin （fun，x0，）；5） x，options，funval= lsqnonlin （fun，x0，）；说明：x= lsqnonlin （fun，x0，options）；fun是一个事先建立的 定义函数f(x)的M-文件 ，自变量为x迭代初值选项有无约束优化例 用下面一组数据拟合 中的参数a，b，k该问题即解最优化问题：1）编写M-文件 curvefun1.mfunction f=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=k; 2）输入命令 tdata=100:100:1000 cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39, 6.50,6.59;x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata)f= curvefun1(x,tdata) F(x，tdata)= ，x=(a，b，k)解法1. 用命令lsqcurvefit3）运算结果为：f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.0063x = 0.0063 -0.0034 0.25424）结论：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.2542返回模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4 (百万)模型应用预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0x(2010)=306.0模型检验用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯（EFGauss）也做了一个原生物草履虫实 验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效 果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有 0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量 375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic 曲线：几乎完全吻合，见图3.6。 图3-6Malthus模型和Logistic模型的总结Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7） 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符 。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要 原因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例。 年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程人口发展方