4.2.3直线与圆的方程的应用 教学目标 1、知识与技能 （1）理解直线与圆的位置关系的几何性质； （2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； （3）会用“数形结合”的数学思想解决问题 2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程 表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数 问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论 3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆 的方程的应用，培养学生分析问题与解决问 题的能力 二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用 问题提出通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用 问题:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响 ？轮船港口台风思考1:解决这个问题的本质是什么？思考2:你有什么办法判断轮船航线是 否经过台风圆域？轮 船港 口台 风xyo思考3:如图所示建立直角坐标系， 取10km为长度单位，那么轮船航线 所在直线和台风圆域边界所在圆的 方程分别是什么？思考4:直线4x7y280与圆x2 y29的位置关系如何？对问题应 作怎样的回答？轮船港口台风问题：如图是某圆拱形桥一孔圆拱 的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m ，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要 用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度 （精确到0.01m）ABA1A2A3A4OPP2思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？思考2:如图所示建立直角坐标系，那 么求支柱A2P2的高度，化归为求一个 什么问题？ABA1A2A3A4OPP2xy思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题的答案如何 ？思考3:取1m为长度单位，如何求圆拱 所在圆的方程？x2+(y+10.5)2=14.52 ABA1A2A3A4OPP2xy知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.思考1:许多平面几何问题常利用“坐 标法”来解决，首先要做的工作是建 立适当的直角坐标系，在本题中应如 何选取坐标系？Xyo思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？ABCDMxyoN思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的 坐标如何？思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？ABCDMxyoN理论迁移例1 如图，在RtAOB中， |OA|=4，|OB|=3，AOB=90，点P 是AOB内切圆上任意一点，求点P到 顶点A、O、B的距离的平方和的最大 值和最小值.OABPC XyO1MO2PNoyx例2 如图，圆O1和圆O2的半径都 等于1，圆心距为4，过动点P分别作 圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且 使得|PM|= |PN|，试求点P的运动 轨迹是什么曲线？