直线与平面的位置关系 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外 一点，M，O分别是PD，AC的中点，判断MO 与平面PAB的关系 PMAODBCPMAOBCEF如图，P为平行四边形ABCD所在平面外 一点，M，K分别是PD，BC的中点，判断MK 与平面PAB的关系 PMAKDBCE如图，E为在正方体ABCDA1B1C1D1的棱 的中点， 求证：BD1 平面ACE. ABCDA1B1C1D1EO直线和平面平行的判定定理中三个条件缺 一不可，体现了化归的数学思想，将线面 平行问题转化为线线平行问题线线平行线面平行问题：若线面平行，则直线与平面内的直线 的位置关系如何？ 无公共点平行或异面何时平行？ab如果一条直线和一个平面平行，经过这条 直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行 a=ba ab线面平行线线平行例1 若三个平面两两相交于三条直线，并 且其中两条交线平行，那么第三条交线也 和它们平行变式：若三个平面两两相交于三条直线， 并且其中两条直线相交，那么第三条交线 必经过前两条直线的交点例2 已知平面外的两条平行直线中的一条 平行于这个平面，求证：另一条也平行于 这个平面3.有一块木料如图所示，已知棱BC平行于 面AC(1)要经过木料表面ABCD 内的一点P和 棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线和平面AC有什么关系？ABCDABCD PEF4.填空： (1) 过直线外一点，与这条直线平行的平面 有_个.另：过直线外一点，与这条直线平行的直线 有_个. (2) 过平面外一点，与这个平面平行的直线 有_条.(3) 过两条异面直线中的一条可作_个平 面与另一条直线平行.abPaPabba(4) 点P是两条异面直线外一点，过 点P可作_个平面与直线都平行.Paba5若一条直线与一个平面平行，那么过 这个平面内的一点与这条直线平行的直线 必在这个平面内abA c6求证：若一条直线与两个相交平面都平 行，则这条直线与它们的交线平行abdcmnAB7如图，E为在正方体ABCDA1B1C1D1的 棱的中点， 求证：BD1 平面ACE. ABCDA1B1C1D1EO如图，正方形ABCD和正方形ADEF不共面 ，MBD，NAE，且ANBM， 求证：MN/平面CDEABCEDFMNQP8 .如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在 B1D1上,点M在BC1上,且C1M=D1N,求证:MN/平面AA1B1B.BACDA1B1C1D1 NME9已知：四边形ABCD是平行四边形， 点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点 ，DM上取一点G，过AP和G作平面交平 面BDM于GH.求证：APGH ABCDPMGHO直线与平面垂直问题：将课本竖放在讲台上，指出书脊（ 想象成一条直线）、各书页与桌面的交线 ，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的 一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线 垂直直线与平面垂直（1）一条直线和平面内的任何一条直线 都垂直，称这条直线和这个平面互相垂直 （2） 直线叫做平面的垂线，平面叫做直 线的垂面，直线和平面的交点称为垂足.aBA 记作：a 思考（1）定义中“任何”两字能否改为“无数 ”,为什么？（3）过空间一点有几个平面与已知直线垂 直？（2）过空间一点有几条直线与已知平面垂 直？定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂 直于一个平面，那么另一条也垂直于同一 个平面（用定义证明）有没有更方便的判定方法呢？ amn思考：拿一张矩形的纸 对折后略为展开，竖立 在桌面上，折痕和桌面 的位置关系如何？因为a ， a b ，所以b 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线垂直，那么这条直线垂直于这个平面因为am， an，mn=A，m ，n ，所以a线面垂直线线垂直amnA证明直线与平面垂直的方法：1.用定义证明； 2.用判定定理例 P是菱形ABCD外的一点，且PAPC， 求证 AC 平面PBD.BACDPO判断： 1.若直线l，b,则lb. 2.若直线lm，mn，l，则n. 3.若am， an，m ，n ，则a. 4. 过点A垂直于直线的所有直线一定在同一平面内 .已知直线l 平面，垂足为A，直线APl 求证：AP. 证明：设AP与l确定的平面为 若AP ，则设=AM l ， l AM 又AP l ，于是在平面内过点A有两条直线垂直 于l ，这是不可能的 所以APlAPM问题：如果两条直线同垂直于一 个平面，那么这两条直线的位置 关系如何？直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面 ，那么这两条直线平行因为a ，b ，所以a bbbaOaBA若a ，则点到平面的距离:AB的长度面外一点与这个平面内各点的连结而 成的线段中，垂直于平面的线段最短.已知：直线l 平面 求证：直线l上的各点到平面的距离相等lABBA直线与平面平行，直线上任何一点到平面的距离叫这 条直线到平面的距离如图，四边形ABCD是正方形，SA 平面 ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、 SC、SD于E、F、G， 求证：AESB.ABCDEFSG已知点A是平面BCD外的一点，AB CD, AC BD,求证：AD BC.BCDA例：四面体ABCD中，ACBC，ADBD ，BECD于E，AHBE于H，求证： AH平面BCD ACDBEH平面的斜线：一条直线和一个平面相 交，但不和这个平面垂直，这条直线就叫 做这个平面的斜线.斜线和平面的交点 叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫 做这点到这个平面的斜线段. PQ平面外一点到这个平面的垂线段有且 只有一条，而这点到这个平面的斜线 段有无数条.Q 斜线在这个平面内的射影：平面 外的一点P向平面引斜线和垂线，过垂足 D和斜足Q的直线叫做斜线在平面内的射 影（正投影）垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜 线段在平面内的射影PD直线与平面相交时，通过什么量来刻画 倾斜程度？ 直线与平面所成的角 （1）平面的一条斜线与它在平面内的射线所成的 锐角叫这条斜线与平面所成的角；Q PD比较PQD与PQM大小M因为PD于点D，PQ与平面相 交于点Q，所以PQD是PQ与平 面所成的角（2）平面的垂线与平面所成的角是直角； （3）直线与平面平行或在平面内，所成的 角是0角例1 已知AC，AB分别是平面的垂线与斜 线，C，B分别是垂足和斜足，n ，BACn若n CB.求证： n AB若 n AB求证：n CB.例2 已知ABC在平面内，P ， PACPAB 求证：点P在内的射影在ABC的角平分 线上ABCP例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 (1)A1D与平面ABCD所成的角； (2)A1C与平面ABCD所成的角的正弦； (3)A1B与平面A1B1CD所成的角的余弦ABCDA1B1C11D1如图，四边形ABCD是矩形，SA平面 ABCD，AESB于，EFSC于F， 求证：（1）AEBC；（2）AFSCABCDEFSABCDEFS已知ABC中，AB6，AC8，BAC 90，平面外一点P到三个顶点的距离都 为13，求P到平面ABC的距离若PA，PB，PC两两互相垂直，则点P在平 面 ABC内的射影是三角形ABC的 心若PAPBPC，则点P在平面ABC内的射 影是三角形ABC的 心若PA，PB，PC每两条的夹角是60 ，求 PC与平面PAB所成角的余弦值设a，b是异面直线，它们所成的角时80 (1)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是60, 这样的直线有几条？(2)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是50, 这样的直线有几条？(3)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是45, 这样的直线有几条？ (4)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是40, 这样的直线有几条？(5)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是35, 这样的直线有几条？