相交线与平行线教学分析2011年2月24日北京东城教师研修中心 雷晓莉北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战名单单 人数考试试 人数平均 分及格 率良好 率优优秀 率难难度 系数8059794480.191.4 %81.55 %45.66 %0.80（1）学生的平均分、及格率、优秀率统计数据北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战（2）各分数段学生人数 北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战题号12345678910合 计平均 分 （赋 分3）32. 932. 82. 82. 32. 72. 72. 22. 126. 5选择题的数据统计：北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战填空题的数据统计：北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战解答题的数据统计：题 号 （赋分 ）19（ 4）20（4 ）21（5 ）22（4 ）23（4 ）平均分3.93.44.53.73.3北京市东城区教师研修中心.成绩与挑战北京市东城区教师研修中心本学期的教学内容安排本学期，完成人教版义务教育课程标准实验教科书七年级下册： （61课时）第五章相交线与平行线 （14课时）第六章平面直角坐标系 （7课时）第七章三角形 （9课时）第九章不等式与不等式组 （11课时）第十章数据的收集、整理与描述 （9课时）八年级上册：第十一章全等三角形的教学（11课时）北京市东城区教师研修中心.本学期教学研修计划序号日期地点研修活动动内容主讲讲人参加人 员员12.24研修中心本学期教学安排与教学要求、 相交线线与平行线线教材教法研究雷晓晓莉初一数 学教师师23.3研修中心平面直角坐标标系 三角形教材教法研究韩韩 芃胥世菊 初一数 学教师师33.10研修中心不等式与不等式组组 数据的收集、整理与描述教材教法研究王 芳 曹自由初一数 学教师师43.24研修中心全等三角形教材教法研究梁 燕初一数 学教师师54.7171中学 研究课课陈陈 蕾 王 悦初一数 学青年 教 师师北京市东城区教师研修中心，.序号日期地点研修活动动内容主讲讲人参加人 员员65.1922中研究课课待定初一数 学青年 教 师师7待定研修中心专业专业 素养研修待定初一数 学教师师8待定研修中心专业专业 素养研修待定初一数 学教师师96.9dchjylei xiaoli1 26.com期末复习习安排雷晓晓莉初一数 学教师师本学期教学研修计划北京市东城区教师研修中心相交线与平行线教学分析一. 几何学介绍二. 知识结构三. 教学建议1. 初高中的几何学习 一、几何学简介2.欧氏几何与非欧几何简介任何一个玩过游戏的人大概都曾改变过游戏的规 则。有时，只是改变一条游戏规则，一个游戏就 完全不同了。几何也许可与游戏比较-几何的 公设就是规则。如果你改变了即使一条公设，你 也许能创立一种新的几何学。欧几里得的几何学，被称为欧式几何，是建立在 几个公设之上的（不正自明的真理）。按照欧几 里得同代人的说法，一个公设是不能从其它的公 设得到显然的真理。一、几何学简介 这五条公设分别为：1.由任意一点到任意一点可作直线。 2.一条有限直线可以继续延长。 3.以任意点为圆心及任意的距离为半径可以画圆。4.凡直角都相等。 5.同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在 某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线 经无限延长后在这一侧相交。 一、几何学简介欧几里得的第五公设被认为是平行公设(可在第五公 设中未提及平行),之所以有此名称是因为它从逻辑 上等价于:过直线外一点,有且只有一条直线与已知 直线平行.前四条公设看起来非常直截了当,而第五公设看起来 却不那么显而易见.若干世纪中,数学家们试图证明 它可以从其他公设推出却没有成功.所以数学家试图利用间接证明,他们假定第五公设是 假的,并试图得到逻辑上的矛盾.有两种假设:经过直 线外一点存在不止一条直线平行已知直线或不存在 直线平行于已知直线.一、几何学简介俄国数学家罗巴切夫斯基(1973-1856),德国数学 家高斯(1777-1860)和匈牙利数学家鲍耶(1802- 1860)作了第一种假设:经过直线外一点存在多于 一条的直线平行于已知直线。此假设导致一种与 欧几里得的其他公设都不矛盾的新非欧几何学,它 与任何 不依赖于平行公设的的定理都不矛盾.这 种几何被称为罗氏几何或双曲几何.罗氏几何像欧 氏几何一样是完善的、严密的几何学。 一、几何学简介德国的数学家黎曼作了第二种假设:过直线外一点 不存在直线与已知直线平行.对于其他假设作了些 许调整,这一假设导致了第二种非欧几何学,它同 样与任何 不依赖于平行公设的的定理都不矛盾. 黎曼几何学也被称为椭圆几何学.一、几何学简介欧氏几何的所有定理,除了那些直接或非直接依赖 于平行公设的定理外,在罗氏几何和黎曼几何中都 依然成立.在欧式几何中依赖于平行公设的定理中 人们最熟悉的例子是三角形内角和定理:三角形内 角和等于180;在罗氏几何中相应的定理:三角形 内角和小于180;在黎曼几何中:三角形内角和大 于180;一、几何学简介黎曼几何(椭圆几何)模型你可以用球面做黎曼几何的一个模型.为了建立 模型,你需对欧式几何的公设作两点改变. 1.你用”大圆”代替”直线”. 2.把每一对球面上的径对点(位于同一直径两端 点)代替“点”.在欧式几何中直线无端点且长 是无限的.一、几何学简介在黎曼几何中大圆无端点,但它的长度却是有限 的.大圆上介于两点的部分叫做测地线.测地线 是黎曼几何中的线段.显然在黎曼几何中不存在 平行线,因为球的所有大圆都相交.在我们的日 常生活中,欧式几何是使用的,在地球表面的航 海,航空等实际问题中,黎曼几何更准确一些.一、几何学简介下面是罗氏几何的一个模型,此模型是圆内的所有点 ,不包括边界(圆周).在这个世界中，“直线段”已 经不再是我们熟悉的直线段了，而是一条条垂直于 边界的圆弧（图1中蓝色的那条） （还包括圆的直 径）。而我们眼中的直线，在他们看来就是曲线（ 图1中红色的那条） 一、几何学简介这个世界中的几何满足欧式几何的前面四个公设，但不满足第五公设。比如，两点确定一条直线 ，因为过两点的圆弧只有一条垂直于这个世界的 边界；而直线可以无限延长，因为不包括边界。 但是，这个世界不满足第五公设。一、几何学简介从图2可以看到，过一点可以作无数条直线不与已知直线平行；从图3可以看到，三角形的内角和小 于180度。一、几何学简介下面这幅图片可以帮助你更好地理解这个双曲模型。这是该平面上的一个三角形剖分，里面的所 有三角形都是等边三角形，而且所有这些三角形 都是一样大的。你可以看到7个等边三角形共用一 个顶点，这说明三角形的内角和小于180度。在宇 宙中或原子核世界,罗氏几何更符合客观实际.一、几何学简介按几何特性（曲率），现存非欧几何的类型可以 概括如下：坚持第五公设，引出欧几里得几何。 以“可以引最少两条平行线”为新公设，引出罗 氏几何（或称双曲面几何）。 以“一条平行线也不能引”为新公设，引出黎曼几何（或称椭圆几何）。 非欧几何分类一、几何学简介一般来讲，非欧几何有广义、狭义、通常意义三 个不同含义:广义的非欧几何：泛指一切和欧几里得几何不同 的几何学； 狭义的非欧几何：只是指罗式几何或黎曼几何； 通常意义的非欧几何：指罗式几何和黎曼几何二 者。 一、几何学简介平面几何是研究平面图形的形状、大小与位置的学科实际上这个定义没有真正揭示几何学的本质，实际上我们研究几何本身是研究：图形变换后的性质不变的学科而这个认识就是基于几何变换的作用以及学习几何的目的因此要学会从几何变换的角度看问题与研究问题一、几何学简介平面几何研究的对象：二、知识结构北京市东城区教师研修中心.三、教学建议本章的学习目标是“语言关、图形关、互化关”，体会数量与位置之间的内在联系1. 本章的学习目标北京市东城区教师研修中心.（）解读图形与语言对应关系的能力，为逐 步培养几何直观做必要的铺垫；（）解读好数量关系与位置关系的含义以及 两者之间的关系；（3）培养“有序”的思想方法（观察与思考 ）图形内部与外部；先识别谁；先想什么；先 做什么；先表述什么？2. 解决的问题三、教学建议3. 本章教学所需总课时为节 相交线 课时 平行线 课时 平行线的性质 课时 平移 课时小结 课时三、教学建议本章知识实际上分为两部分其一：知识部分，即研究相交线、平行线以及平行线的性质、这部分主要解决的是知识的确立以及相关的概念，特征以体验平面几何知识的研究对象与方法等问题、其二：是平行线知识的使用问题，即平移问题、这部分知识解决的是图形的移动问题，要研究图形移动的目的、移动的条件、移动的方法以及相对应的表述、三、教学建议在本章学习的知识，可以说都是起始的知识，它们都担负着各自的重要作用1. 基本形成研究几何的按线型展开研究的基本思路；2. 基本确立位置关系的确立与相应的数量关系对应，并形成数量与位置并不一一对应的关系三、教学建议教学时，应研究知识内容，研究学生，研究教法。教学时，突出概念的形成过程，突出知识的探究过程，这是学生能力的增长点。三、教学建议三、教学建议三、教学建议三、教学建议三、教学建议三、教学建议垂线段最短三、教学建议三、教学建议三、教学建议 相交线总体建议：主要是“对顶角、垂线以及垂线 的性质”问题，建议增加格点问题，为直角坐 标系做必要的铺垫、对顶角问题：主要解决邻补角的应用，建 立数量关系与位置关系的联系、垂直问题：解决数量关系与位置关系的对 应关系；画法（用三角板；过一点）；点到 直线的距离（用度量的方法给出）；（可以 补过线外一点，角内一点）、三、教学建议相交线问题知识的解读：这是个生成性的知识，是 由角的形成而形成的知识，抓住这点就抓 住了知识之间的关系、从另一个角度讲也 是因邻补角知识而形成的知识，所以也可 抓住这个问题建立知识、因此，这个知识的引入方式就有三种：造一个角等于一个已知角；造一个与已知角成既相邻又互补的角；从日常生活的现象发现三、教学建议在应用引例的基础上，要用好它 即解决好角的分类问题：位置上不 相关、位置上相关位置上相关是指：有公共顶点、有公共边；有公共顶点、 边共线；没有公共顶点、边共线；有公共顶点、边不共线 三、教学建议2、对顶角由两条直线相交形成对顶角进而形成对顶角 相等，它是刻画两条相交直线关系的工具、其一，有两条相交直线就可以有对顶角相等 ，这时对顶角的大小就是刻画相交状态的工具、AOC的大小就 刻画了直线AB与 CD的相交的状态三、教学建议其二，对顶角又是判断两条直线是否相交 的一种重要的依据如果有AOCBOD，则我们就可以说 明直线AB与CD相交在此要清楚不要强行推理，我们可以在此 进行有关角度的计算，只是说理就够了，还 可以把角平分线的知识与对顶角结合计算三、教学建议增加反面例子图中1、2是对顶角吗？对顶角的特点： 1、顶点相同， 2、角的两边互为反向延长线， 3、成对出现三、教学建议、垂直知识解读：这是相交两条直线的一种特殊位置 关系、但是，它是利用数量确定图形位置关系的 第一个知识，要在此揭示这种现象，让同学体会 这种相互关系、如果有我们也不能说明直线AB与CD 垂直、三、教学建议垂线的画法：为作平行线做准备这个知识是一个能力提升点，即从问题的 设计到操作可以体现能力的要求、如已知一条直线与一个点，过该点作已知 直线的垂线（研究点与直线的不同位置）；如已知一条线段与一个点，过该点作已知 线段的垂线（分析点与线段的不同位置）；如已知一个角和一个点，过该点作已知角 的两边的垂线（点与角的不同位置）、三、教学建议、垂线段（唯一性问题）不要在概念上做文章，只要能分清“垂 线段”是图形，“距离”是长度即可、理解需要利用图形关系时用“