n要点疑点考点 n课 前 热 身 n能力思维方法 n延伸拓展n误 解 分 析第5课时 函数的单调性要点要点 疑点疑点 考点考点1.函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的 值x1 , x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这 个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任 意两个自变量的值x1 , x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那 么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减函数 .是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增 函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2， 当x0，+时是增函数，当x(-，0)时是减函数. 2.单调区间如果函数y=f(x)在某个区间间是增函数或减函数，那么就说说 函数y=f(x)在这这一区间间上具有(严严格的)单调单调 性，这这一区间间 叫做y=f(x)的单调单调 区间间.在单调单调 区间间上增函数的图图象是上升 的，减函数的图图象是下降的. 3.用定义证明函数单调性的步骤证证明函数f(x)在区间间M上具有单调单调 性的步骤骤：(1)取值值：对对任意x1,x2M，且x1x2；(2)作差：f(x1)-f(x2)；(3)判定差的正负负；(4)根据判定的结结果作出相应应的结论结论 . 4.复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下： 函数 单调单调 性 u=g(x) 增增减 减 y=f(u) 增减增减y=fg(x)增减减增注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 返回课 前 热 身1.下列函数中，在区间(-，0)上是增函数的是( ) (A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a0)(C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x)2.定义在区间(-，+)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x) 在区间0,+)的图象与f(x)的图象重合，设ab0，给出下 列不等式： f(b)-f(-a)g(a)-g(-b); f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(a)-f(-b)g(b)-g(-a); f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)其中成立的是( ) (A)与 (B)与 (C)与 (D)与 DB答案： (3) B (4) (-，-1)，(-1，+) (-1，1 (5) C3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数， 那么实数a的取值范围是( ) (A)(-，-3) (B)(-，-3) (C)(-3，+) (D)(-，3)4.函数 的减区间是_；函数 的减区间是_5.函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( ) A.(-，1) B.(2，+) C.（1，32） D.32，2 返回能力能力思维思维方法方法1.讨论函数f(x)=x+a/x(a0)的单调性【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分有 用，应予重视.2. 2.已知已知y=y=f(xf(x) )是奇函数，它在是奇函数，它在(0(0，+)+)上是增函数，且上是增函数，且f(x)f(x)0 0，试问试问F(xF(x)=1/f(x)=1/f(x)在在( (- - ，0)0)上是增函数还是减函数上是增函数还是减函数? ? 【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受已知条件的影【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受已知条件的影 响，一开始在响，一开始在(0(0，+)+)内任取内任取x x1 1x x2 2，展开证明展开证明. .这样就不能这样就不能 保证保证- -x x1 1，-x-x2 2在在( (- - ，0)0)上的任意性而导致错误上的任意性而导致错误. . 【解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致的.函数的 单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解不 等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义域. 3.设试判断函数f(x)的单调性并给出证明； 若f(x)的反函数为f-1(x)，证明方程f-1(x)=0有惟一解； 解关于x的不等式f x(x-1/2)1/2 【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外 函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相 异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.4.是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2，4上是 增函数? 返回延伸延伸拓展拓展【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常 见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如f(x+g)= f(x)+f(y)f(x)f(y)=f(x+g)f(xy)=f(x)+f(y)等分别与一次函数 、指数函数、对数函数相对应. 本题第四问在前三个问题的 基础上给出则水到渠成. 5.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：对任意x,y(-1，1)，都有 当x(-1，0)时，有 f(x)0. (1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由. (2)判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明. (3)求证： (4)求证：返回(1)对抽象函数单调性及奇偶性的判定仍以定义为中心.结合 抽象函数关系式对变量进行适当的赋值不以定义为主线则 一切变形会失去目标. 误解分析误解分析(2)后一问题的解决、注意联系前一问题、看能否找到办法. 返回