通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明线面的平行与垂直问题第4课时 直线与平面的位置关系【命题预测】 1空间中平行关系的概念性比较强，与前后知识的联系比较紧密，是每年高考考查线面位置关系及综合运用知识解答问题经常涉及的内容，试题在考查“四种能力”的同时，非常重视对数学思想方法的考查，试题主要体现立体几何的通性通法，突出了化归、转化等思想方法的考查因此，对这些内容要认真复习，真正学明白2垂直是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中的纽带，常常起到承上启下的作用，不少问题常常是以垂直为解题的突破口，然后深入进行下去在高考中，空间三种垂直关系的转化始终是立体几何考查的重点【应试对策】 1对线面平行、面面平行的认识一般按“定义判定定理性质定理应用”的顺序进行，其中定义的条件和结论是相互等价的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用2应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外直线平行的直线应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行 3要判定一条直线线是否和一个平面垂直，取决于在这这个平面内能否找出两条相交直线线和已知直线线垂直，至于这这两条相交直线线是否和已知直线线有公共点则则无关紧紧要4求直线线与平面所成的角，一般是作出直线线与平面所成的角，并通过过解三角形求出【知识拓展】 三垂线定理和逆定理(1)三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直其符号表述为：直线l与平面斜交，l是l在内的射影，直线m，mlml.(2)三垂线线定理的基本图图形右图图是三垂线线定理的基本图图形，PA，PO是平面的斜线线，AO为为PO在内的射影，直线a在内，若aAO，则则aPO.(3)三垂线线定理的逆定理在平面内的一条直线线，如果它和这这个平面的一条斜线线垂直，那么它也和这这条斜线线在平面内的射影垂直(4)三垂线线定理及其逆定理的作用三垂线线定理及其逆定理，是立体几何中的重要定理，是共面两直线线的垂直关系与空间间两直线线的垂直关系之间间相互转转化的判定定理，它的实质实质 是通过线线过线线 垂直得到的线线面垂直，又转转化为线线为线线 垂直，它是证证明线线线线 垂直的重要方法它的用途：在作图图中，作二面角的平面角；在证证明中，证证明线线线线 垂直；在计计算中，用归纳归纳 法归拢归拢 已知条件，便于计计算1直线线a和平面的位置关系有 、 、 ，其中 与 统统称直线线在平面外2直线和平面平行的判定(1)定义义：如果一条直线线a和一个平面没有公共点，我们们就说说直线线a与平面 (2)判定定理：a，b，ab ；(3)其他判定方法：，a .平行相交在平面内平行相交平行aa思考：直线与平面平行的判定定理是判断平行关系的核心，运用此定理应注意 什么？ 提示：应注意平面外的一条直线和平面内的一直线平行才能得到线面平行3直线线和平面平行的性质质定理：a，a，l .4直线与平面垂直(1)直线线与平面垂直的定义义如果一条直线线a与一个平面内的任意一条直线线都垂直，我们们就说说直线线a与平面 ，记记作a，直线线a叫做平面的 ，平面叫做直线线a的 ，垂线线和平面的交点称为为 al互相垂直垂线垂面垂足(2)直线线与平面垂直的判定定理如果一条直线线和一个平面内的两条 都垂直，那么这这条直线线垂直于这这个平面(3)直线线与平面垂直的性质质定理如果两条直线线垂直于同一个平面，那么这这两条直线线 相交直线平行5点面、线面距离及线面角(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和 间的距离，叫做这个点到这 个平面的距离(2)直线和平面的距离一条直线和一个平面 ，这条直线上 到这个平面的距离，叫 做这条直线和这个平面的距离 垂足任意一点平行(3)直线线与平面所成的角平面的一条斜线线与它在这这个平面内的 所成的 ，叫做这这条直线线与这这个平面所成的角一条直线线 平面，则则称它们们所成的角是直角；一条直线线与平面 或 ，则则称它们们所成的角是0的角. 射影锐角垂直于平行在平面内6平行六面体底面是平行四边形的四棱柱叫做 ，侧棱与底面垂直的平行六 面体叫做直 ，底面是矩形的直平行六面体叫做 ，棱长相等的长方体叫做 平行六面体平行六面体长方体正方体1(2010东台中学高三诊断性试卷)已知球面上有四点A、B、C、D，DA平面 ABC，ABBC，DAABBC ，则该则该 球的体积积等于_答案：2a、b为为平面M外的两条直线线，在aM的前提下，ab是bM的_条件 解析： ab，ab是bM的充分不必要条件答案：充分不必要条件3(2010扬州中学高三考试)若一个长长方体的长长、宽宽、高分别为别为 5米、4米、3米， 则则其外接球的表面积为积为 _米2.解析：设球的半径为R，则(2R)252423250.S4R250.答案：504如图图，BC是RtABC的斜边边，AP平面ABC，连结连结 PB、PC，作PDBC于D， 连结连结 AD，则图则图 中共有直角三角形_个解析：RtPAB、RtPAC、RtABC、RtADP.可证BC平面APD，由BCAD，BCPD.可证RtPBD、RtPDC、RtADB、RtADC共8个答案：85在棱长为长为 a的正方体ABCDA1B1C1D1中，A到平面B1C的距离为为_，A到平 面BB1D1D的距离为为_，AA1到平面BB1D1D的距离为为_解析：由正方体性质知ABBB1，ABBC，AB平面B1C.又ABa，点A到平面B1C的距离为a.过点A作AOBD，垂足为O，由正方体 性质知，BB1面AC，AO面AC，AOBB1.AO平面BB1D1.而AO a，A到平面BB1D1的距离为 a.AA1平面BB1D1，AA1到面BB1D1的距离等于A到平面BB1D1的距离为 a.答案：a a a判定直线线与平面平行，主要有三种方法：(1)利用定义义(常用反证证法)(2)利用判定定理：关键键是找平面内与已知直线线平行的直线线可先直观观判断平面内是否已有，若没有，则则需作出该该直线线，常考虑虑三角形的中位线线、平行四边边形的对边对边 或过过已知直线线作一平面找其交线线(3)利用面面平行的性质质定理：当两平面平行时时，其中一个平面内的任一直线线平行于另一平面【例1】 如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边边BC，BECF，BCF90， 求证证：AE平面DCF.思路点拨:证明：过点E作EGCF交CF于G，连连接DG，可得四边边形BCGE为为矩形又ABCD为为矩形，所以AD EG，从而四边边形ADGE为为平行四边边形，故AEDG.因为为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE平面DCF.变式1：如图，已知P是ABCD所在平面外一点，M 为为PB的中点求证证：PD平面MAC.证明：连结连结 BD交AC于点O，连结连结 MO，O为为BD的中点，又M为为PB的中点，MOPD.又MO平面MAC，PD平面MAC，PD平面MAC. 如果已知直线线和平面平行，在利用直线线与平面平行的性质质定理时时，常过过此直线线作和已知平面相交的辅辅助平面，完成线线面平行向线线线线 平行的转转化转转化思想是本章知识识最常用的思想【例2】求证：如果一条直线线和两个相交平面都平行，那么这这条直线线和它们们的交 线线平行已知：如图图，=l，a，a.求证证：al.思路点拨：利用直线与平面平行的性质，分别在平面、找与a平行的直线证明：过作平面交平面于b，a，ab.同样，过a作平面交平面于c.a，ac.bc.又b，c，b .又平面经过经过b交于l，bl.又ab，al.变式2：如图，设设AB、CD分别别是位于平面两侧侧的异面线线段，且AB， CD，直线线AC、AD、BC、BD分别别交于点E、F、H、G，求证证：EG与FH互相平分证明：ACADA，AC和AD可确定一个平面CD，平面ACDEF，CDEF.同理，CDHG，EFHG.同理，EHFG.四边边形EFGH为为平行四边边形EG与FH互相平分证证明直线线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用平行线线垂直于平面的传递传递 性(ab，ab)(3)利用面面平行的性质质(a，a)(4)利用面面垂直的性质质当直线线和平面垂直时时，该该直线线垂直于平面内的任一直线线，常用来证证明线线线线 垂直【例3】 如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别别是AB，PC的中点(1)求证证：MNCD；(2)若PDA45，求证证：MN平面PCD.思路点拨：(1)因M为AB中点，只要证ANB为等腰三角形，则利用等腰三 角形的性质可得MNAB.(2)已知MNCD，只需再证MNPC，易看出PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MNPC.(1)连结连结 AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为为PC中点，AN= PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为为斜边边PC上的中线线，BN= PC.AN=BN，ABN为为等腰三角形，又M为为底边边的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.(2)连结连结 PM、MC，PDA=45，PAAD，AP=AD.四边边形ABCD为为矩形AD=BC，PA=BC.又M为为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90，PM=CM.又N为为PC的中点，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCD=C，MN平面PCD.变式3：(2010江苏省东台中学高三数学诊断性试卷)如图，在四棱锥锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD， ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点(1)证证明CDAE；(2)证证明PD平面ABE.证明：(1)在四棱锥锥PABCD中，因PA底面A