第四节 三角函数的图象与性质(2)基础梳理 1. 作 的图象主要有以下两种方法： (1)用“五点法”作图 用“五点法”作 的简图，主要是通过变量代 换，设 ，由z取_，_，_， _，_来求出相应的x，通过列表，计算得出 五点坐标，描点后得出图象 (2)由函数y=sin x的图象通过变换得到 的图 象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”0 方法一：先平移后伸缩y=sinx 平移 个单位纵坐标不变横坐标不变方法二：先伸缩后平移 y=sinx 纵坐标不变平移 个单位y=sinx 横坐标不变A叫_，叫_， 叫_， x=0时的相位 称为_上述概念是在A0且w0的前 提下的定义，否则，若A0或w0，则F就不能称为相位叫_， 振幅 周期 频率 相位 初相 基础达标 1. 为了得到函数y=3sin 的图象，只需将函数 y=3sinx上的所有点_ 解析：将函数y=3sinx上的所有点向右平移 个单位可得函数y=3sin 的图象 2. 将函数y=sinx的图象，先向上平移一个单位，再将纵 坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变，所得图象的解析式为 _x0，+)表示一个振动量时， 解析：将y=sinx的图象先向上平移1个单位得到函 数y=sinx+1的图象，再把纵坐标扩大到原来的2倍， 得到函数y=2sinx+2的图象 3. (必修4P48第13题改编)已知函数 的部分图象如图所示，则 解析：由图象可知 ，则 由五点作图法知 www.aaaxk.com4. 设点P是函数 的图象C的一个对称中心， 若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是 最小正周期是_ 则f(x)的解析： 的图象的一个对称中心与相邻的 对称轴的距离为 5. 已知函数 的图象如图所示， 则f(0)=_.解析： 又 是函数的一个上升段的零点， 求得 代入 得A= 经典例题 【例1】 已知函数y=2sin (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin 的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到 分析：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决 (2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点 (3)只要看清由谁变换得到谁即可解：(1)y=2sin 的振幅A=2，周期T 初相 (2)令x=2x+则y=2sin=2sinx. 列表，并描点画出图象：0-20200-1010y=sinx0xx(3)方法一：把y=sinx的图象上所有的点向左平移 个单位，得到y=sin 的图象，再把y=sin 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到y=sin 的图象，最后把y=sin 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y=2sin 的图象 方法二：将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象； 再将y=sin2x的图象向左平移 个单位，得到 的图象；再将y=sin 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin 的图象 题型二 三角函数 的解析式【例2】 (2010 天津改编)下图是函数在区间 上的图象(1)求此函数的解析式； (2)为了得到这个函数的图象， 应如何移动y=sinx (xR)的图 象上所有的点？分析：根据图象可求出A， ， ，比较两函数解析 式可知该如何移动 解：(1)由给出的三角函数图象知，A=1， 解得 =2，又 所以 即原函数解析式为y=sin (2)将y=sinx(xR)的图象上所有的点先向左平移个单位长度，再把所有各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变即可得到函数y=sin 的图象 变式2-1 (2011 重庆南开中学月考)已知函数 的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 且图象上一个最高点 (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间解析：(1)由相邻两个交点间的距离为 可得T= 由最高点为 得A=2，且sin 又 (2)令 即 f(x)的单调增区间为 同理，f(x)的单调减区间为 变式2-2(2010 徐州三模)若函数部分图象如图所示则此函数解析式为 解析：由图象可知 而 由图象知A=2，设y=2sin 将(-1,0)代入，可得2sin 又 题型三 三角函数 模型 【例3】 如图，某地夏天814时用电量变化曲线近似 满足函数 (1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式分析：在实际背景中抽象出基本的 数学关系是解题的关键所在 解：(1)最大用电量为50万度，最 小用电量为30万度 (2)观察图象可知，从814时的的半个周期的图象将x=8，y=30代入上式，解得 所求解析式为y=10sin +40，x8,14 图象是变式3-1 下图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8 m， 圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一周，图 中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动 角到 OB，设B点与地面距离为h. (1)求h与 之间关系的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之 间的函数解析式解析：(1)由已知作图， 过点O作地面平行线ON， 过点B作ON的垂线BM交 ON于M点，当 时， h=|OA|+0.8+|BM| =4.8sin +5.6， 经验证，当 时，上述关系也成立 (2)点A在O上逆时针运动的角速度是 (已知60秒转动一周)，t秒转过的弧度数为 t.h=4.8sin +5.6，t0，+)链接高考时取得最大值4.(2010 广东)已知函数 在x= (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式；(3)若 求sin . 知识准备：1. 三角函数的周期公式T= ； 2. 三角函数的性质； 3. 三角函数的求值解析：(1)由三角函数的周期公式可知f(x)的最小正周 期为T= (2)由f(x)的最大值为4，可知A=4，即 (3) 即sin www.aaaxk.com