第六章第六章 系统的稳定性系统的稳定性 系统能正常工作的首要条件系统能正常工作的首要条件 系统的稳定性与稳定条件系统的稳定性与稳定条件 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 BodeBode稳定判据稳定判据 系统的相对稳定性系统的相对稳定性1.1.系统不稳定现象系统不稳定现象例：液压位置随动系统例：液压位置随动系统原理：原理：外力外力阀芯初始位移阀芯初始位移X Xi i(0)(0)阀口阀口2 2、4 4打开打开活塞右移活塞右移阀口关闭（回复平衡位置）阀口关闭（回复平衡位置）（惯性）活塞继续右移（惯性）活塞继续右移阀口阀口1 1、3 3开启开启活塞左移活塞左移 平衡位置平衡位置（惯性）活塞继续左移（惯性）活塞继续左移阀口阀口2 2、4 4开启开启 随动：活塞跟随阀芯运动随动：活塞跟随阀芯运动 惯性：引起振荡惯性：引起振荡 振荡结果：振荡结果： 减幅振荡减幅振荡 （收敛，稳定（收敛，稳定） 等幅振荡等幅振荡 （临界稳定）（临界稳定） 增幅振荡增幅振荡 （发散，不稳定）（发散，不稳定）一、系统的稳定性与稳定条件一、系统的稳定性与稳定条件一、系统的稳定性与稳定条件一、系统的稳定性与稳定条件结论：结论：1.1. 系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数）系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数） ，与输入无关，与输入无关 不稳定现象的存在是由于反馈作用不稳定现象的存在是由于反馈作用 稳定性是指自由响应的收敛性稳定性是指自由响应的收敛性定义：定义： 系统在初始状态作用下系统在初始状态作用下无输入时的初态无输入时的初态输入引起的初态输入引起的初态输出输出 （响应）（响应）收敛（回复平衡位置）收敛（回复平衡位置）系统稳定系统稳定发散（偏离越来越大）发散（偏离越来越大）系统不稳定系统不稳定2.2. 系统稳定条件系统稳定条件线性定常系统：线性定常系统：强迫响应强迫响应输入引起的输入引起的 自由响应自由响应系统的初态引系统的初态引 起的自由响应起的自由响应自由响应自由响应s si i: :系统的特征根系统的特征根2.2. 系统稳定条件系统稳定条件1)1) 当系统所有的特征根当系统所有的特征根s si i（i=1i=1，2 2，n)n)均具有负实部（均具有负实部（位于位于ss平面的左半平面）平面的左半平面）自由响应收敛，自由响应收敛，系统稳定系统稳定2)2) 若有任一若有任一s sk k具有正实部（位于具有正实部（位于ss平面的右半平面）平面的右半平面）自由响应发散，自由响应发散，系统不稳定系统不稳定2.2. 系统稳定条件系统稳定条件3)3) 若有特征根若有特征根s sk k=j=j（位于（位于ss平面的虚轴上），其余极点位平面的虚轴上），其余极点位于于ss平面的左半平面平面的左半平面自由响应等幅振动，自由响应等幅振动，系统临界稳定系统临界稳定4)4) 若有特征根若有特征根s sk k=0=0（位于（位于ss平面的原点），其余极点位于平面的原点），其余极点位于ss平面的左半平面平面的左半平面自由响应收敛于常值，自由响应收敛于常值，系统稳定系统稳定简谐运动简谐运动2.2. 系统稳定条件系统稳定条件结论：结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。征根。线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）均具有）均具有负实部负实部（位于（位于ss平面的左半平面），则平面的左半平面），则系统稳定。系统稳定。如何判别？如何判别？ 求出闭环极点？求出闭环极点？实验？实验？高阶难求高阶难求不必要不必要如果不稳定，可能导致严重后果如果不稳定，可能导致严重后果思路：思路：特征方程特征方程根的分布（避免求解）根的分布（避免求解）开环传递函数开环传递函数闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性（开环极点易知，闭环极点难求）（开环极点易知，闭环极点难求）稳定判据稳定判据二、二、Routh Routh （劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布） 1.1. 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统特征方程为：设系统特征方程为：s s1 1,s ,s2 2,s,sn n：特征根：特征根 因为因为比较系数：比较系数：系统稳定的必要条件：系统稳定的必要条件：各系数同号且不为零各系数同号且不为零 或：或：a an n0,0, a an-1n-10, 0, , , a a1 10,0, a a0 000二、二、Routh Routh （劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 2.2. 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件特征方程：特征方程： Routh Routh 表表： 其中：其中：Routh Routh 判据判据：RouthRouth表中第一列各元符号改变的次数等于系统特表中第一列各元符号改变的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数。因此，征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定系统稳定 的充要条件是的充要条件是RouthRouth表中第一列各元的符号均为正表中第一列各元的符号均为正 ，且值不为零，且值不为零。 例例1 1 系统的特征方程系统的特征方程D(s)=sD(s)=s4 4s s3 319s19s2 211s11s30300 0Routh Routh 表表：第一列各元符号改变次数为第一列各元符号改变次数为2 2，因此，因此1.1. 系统不稳定系统不稳定2.2. 系统有两个具有正实部的特征根系统有两个具有正实部的特征根 例例2 2 已知已知 =0.2=0.2及及 n n=86.6=86.6，试确定，试确定KK取何值时，系统方能稳定取何值时，系统方能稳定 。 D(s)=sD(s)=s3 3+34.6s+34.6s2 2+7500s+7500K=0+7500s+7500K=0由系统稳定的充要条件，有由系统稳定的充要条件，有(1) 7500K0(1) 7500K0，亦即，亦即K0K0。显然，这就是由必要条件所得的结果。显然，这就是由必要条件所得的结果。(2) (2) ，亦即，亦即K0,0, a a1 10,0, a a0 00,0,三阶系统三阶系统(n=3)(n=3)稳定的充要条件为稳定的充要条件为：a a3 30,0, a a2 20,0, a a0 00,0, a a1 1a a2 2a a0 0a a3 300特别特别：三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）1.1. 幅角原理幅角原理L Ls s：ss平面上一封闭曲线平面上一封闭曲线 （不经过（不经过F(s)F(s)的奇点）的奇点） 设有复变函数设有复变函数：幅角原理幅角原理：按顺时针方向沿按顺时针方向沿L Ls s变变 化一周时，化一周时，F(s)F(s)将绕原点顺时针旋将绕原点顺时针旋 转转N N周，即包围原点周，即包围原点N N次。次。 N=Z-PN=Z-P Z Z：LsLs内的内的F(s)F(s)的零点数的零点数 P P：LsLs内的内的F(s)F(s)的极点数的极点数三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据2.2. 开、闭环零极点与开、闭环零极点与F(s)F(s)取取 F(s)=1F(s)=1G(s)H(s)=1+GG(s)H(s)=1+Gk k(s)(s)三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据3.3. s s 平面上的平面上的 NyquistNyquist轨迹的选取轨迹的选取4.4. F(s)F(s) 与与 GHGH 平面上平面上 的的NyquistNyquist轨迹轨迹F(s)=1+GF(s)=1+Gk k(s)(s) s s 沿虚轴沿虚轴L L1 1：s=js=j，（，（ 从从 到到+）；）；L LGHGH：G(j )H(j )G(j )H(j )s s 沿沿L L2 2：s0s0； L LGHGH： L LF F包围原点的圈数包围原点的圈数 = L= LGHGH包围（包围（1 1，j0j0）点的圈数）点的圈数N=Z-PN=Z-P三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据当当 由由 到到+ + 时，若时，若 GHGH 平面上的开环频率平面上的开环频率 特性特性G(jG(j )H(j)H(j ) )逆时针方向包围（逆时针方向包围（1 1，j0j0）点）点P P圈，圈， 则闭环系统稳定。则闭环系统稳定。（P P为为G(s)H(s)G(s)H(s)在在 s s 平面的右半平平面的右半平 面的极点数）面的极点数） 对于开环稳定的系统，有对于开环稳定的系统，有P=0P=0，此时闭环系统稳，此时闭环系统稳 定的充要条件是，定的充要条件是，系统的开环频率特性系统的开环频率特性G(jG(j )H(j)H(j ) ) 不包围（不包围（-1-1，j0j0）点。）点。 确定确定P P 作作G(jG(j )H(j)H(j ) )的的NyquistNyquist图图 运用判据运用判据5.5.判据判据例例1 1三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据例例2 2开环不稳定，开环不稳定，闭环稳定闭环稳定P=1P=1三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 6.6. 开环含有积分环节的开环含有积分环节的NyquistNyquist轨迹轨迹当当s s沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有 映射到映射到 GHGH 平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹为：轨迹为： 当当s s沿小半圆从沿小半圆从 =0=0变化到变化到 =0=0时时 角从角从 /2/2经经0 0 变化到变化到 /2/2 GHGH 平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从经经0 0 转到转到P=0P=0三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据6.6.开环含有积分环节的开环含有积分环节的NyquistNyquist轨迹轨迹例例3 3例例4 4稳定稳定不稳定不稳定P=1P=1三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据7.7.应用举例应用举例 例例1 1不论不论K K取任何正值，系统总是稳定的取任何正值，系统总是稳定的 开环为最小相位系统时，只有在三阶或开环为最小相位系统时，只有在三阶或三阶以上，其闭环系统才有可能不稳定三阶以上，其闭环系统才有可能不稳定。 P=0P=0P=0P=0例例2 2三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据7.7.应用举例应用举例例例3 3P=0P=0 若若G(jG(j )H(j)H(j ) )如图中曲线如图中曲线所示，包围点（所示，包围点（1 1，j0j0