拉丁方设计资料的方差分析 华中科技大学公共卫生学院熊光练 副教授 完全随机设计只涉及到一个处理因素。 随机区组设计涉及一个处理因素、一个区组因素（ 或称为配伍因素）。 倘若实验研究涉及一个处理因素和两个控制因素， 每个因素的类别数或水平数相等，此时可采用拉丁 方设计(latin square design)来安排试验，将两个控 制因素分别安排在拉丁方设计的行和列上。 拉丁方设计是在随机区组设计的基础上发展的，它 可多安排一个已知的对试验结果有影响的非处理因 素，增加了均衡性，减少了误差，提高了效率。 用g行g列个格子代表行区组和列区组不同水平的g 平方种组合，g个拉丁字母（A，B，G）代表 处理因素的g个水平。随机地分配这些字母到gg个 格子中，并且每个字母在每行或每列只出现一次， 得gg拉丁方设计的处理分配表。因为它们是由拉 丁字母组成的方阵，故称拉丁方。 它是将因素按水平数g排列成一个gg的随机方阵。 用i代表列区组的水平，j 代表行区组的水平，k代表 处理因素的水平。 下面是一个66基本拉丁方，做实验时，应随机抽 取拉丁方的一种组合，即在基本拉丁方（第一行、 第一列的字母按顺序排列的拉丁方）的形式上随机 变换行、列。应用时，根据水平数g来选定拉丁方 大小。 ABCDEF BAFEDC CDABFE DFEACB ECBFAD FEDCBA例 比较甲、乙、丙、丁、戊、己 6种药物给家 兔注射后产生的皮肤疱疹大小（mm2），研 究者选用6只家兔、并在每只家兔的6个不同 部位进行注射，试验结果见表4-11。试做拉 丁方设计和方差分析。 设计方法与步骤： （1）本研究药物是处理因素，家兔和部位是 减少试验误差的控制因素，这三个因素的水 平数都为6。选择拉丁方设计。 （2）g=6，选定66拉丁方。 （3）拉丁字母代表药物，行区组代表家兔， 列区组代表注射部位。 （4）为了达到随机化的目的，即获得随机排列的拉丁方， 需对拉丁方设计中66基本拉丁方做行列变换。先做行变换 ，如读取6个两位数的随机数，22，06，34，72，52，82， 再按照大小得秩次R=2，1，3，5，4，6，先2，1行对调， 再3，5行对调，后4，6行对调。再做列变换，如读取6个两 位数的随机数，27，29，99，72，68，53，则R=1，2，6 ，5，4，3，先1，2列对调，再6，5列对调，后4，3列对调 。最后随机分配处理,如读取6个两位随机数，35，56，27， 09，24，86，则R=4，5，3，1，2，6，于是有D（甲）、 E（乙）、C（丙）、A（丁）、B（戊）、F（己）。 具体过程如下： 由此可得到本例的拉丁方设计，可把行和列 对调（表4-11）。至此，研究者可依表4-11 安排实验，其试验结果（皮肤疱疹大小， mm2）记录于表4-11中。 家兔编号 （行区组）注射部位编号（列区组）行区组 合计（Rj）1234561A(73)B(75)C(67)E(61)D(69)F(79)4245172B(83)A(81)E(99)F(82)C(85)D(87)71.786.23E(73)D(60)F(73)C(77)B(68)A(74)4245174F(58)C(64)B(64)D(71)A(77)E(74)71.786.25C(64)F(62)D(64)A(81)E(85)B(71)4245176D(77)E(75)A(73)B(59)F(85)C(82)71.786.2列区组 合计（Ci）42841744043146946771.369.573.371.878.277.8药物DECABF=73.7合计Tk42846743945942043971.377.873.276.570.073.2变异分解 拉丁方设计的总变异可分解为处理组变异、 行区组变异、列区组变异和误差4部分。 变异来 源自由度SSMSF总变异N1C 处理组g1SS处理 /处理MS处理 / MS误差 行区组g1SS行 /行MS行 / MS误差列区组g1SS列 /列MS列 / MS误差误差 (g1) (g 2)SS总SS处理 SS行 SS列SS误差 /误差注：N=g21，。 分析步骤 H0,1：，即六种药物注射后家兔产生皮肤疱疹大小的总体均 数相等 H1,1：六种药物注射后家兔产生皮肤疱疹大小的总体均数不 全相等 H0,2：，即六只家兔皮肤疱疹大小的总体均数相等 H1,2：六只家兔皮肤疱疹大小的总体均数不全相等 H0,3：，即六个注射部位皮肤疱疹大小的总体均数相等 H1,3：六个注射部位皮肤疱疹大小的总体均数不全相等 按表4-12中的公式计算各离均差平方和SS、自由度 、均方MS和F值，计算过程从略，将计算结果按 表4-12汇总，得方差分析表，见表4-13。 变异来源自由度SSMSFP总变异353036.00药物间5268.6753.730.980.05 家兔间5383.3376.671.390.05 部位间51283.33256.674.660.01误 差201100.6755.03 按水准，处理=行间=列间=5， 误差=20 查附表3的F界 值表，F0.05(5，20)= 2.71，F0.01(5，20)= 4.10。 F列间4.66F0.01(5，20)，P0.01。按水准，拒绝H0,3 ，接受H1,3，六个注射部位皮肤疱疹大小的总体均数不全相 等。 F处理0.98 F0.05(5，20)，P0.05，按水准，不拒绝 H0,1，还不能认为六种药物注射后产生皮肤疱疹大小的总体 均数不全相等； F行间1.39F0.05(5，20)，P0.05，按水准，不拒绝 H0,2，还不能认为六只家兔皮肤疱疹大小的总体均数不全相 等。 本例的研究目的是推断6种药物注射后家兔产生皮肤疱疹大 小的差别，所以主要关心处理的大小，结论为尚不能认为皮 肤疱疹大小与药物有关，但不同注射部位的皮肤疱疹大小有 差别。