第36课 锐角三角函数和解直角三角形 1锐角三角函数的意义，RtABC中，设C90，为 RtABC的一个锐角，则：的正弦 sin .的余弦 cos .的正切 tan .要点梳理230、45、60的三角函数值，如下表：正弦余弦正切30456013同角三角函数之间的关系：sin2cos2 ；tan .互余两角的三角函数关系式：(为锐角)sin ；cos .函数的增减性：(00；当A确定时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应难点正本 疑点清源2解直角三角形在实际问题中的应用解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，常作为习题出现的有以下几个方面：度 量工作、工程建筑、测量距离等解这类问题的一般步骤是：(1)弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；(2)将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线， 把它们分割成直角三角形；(3)寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解1(2011烟台)如果ABC中，sin Acos B ，则下列最确切的结论是( )AABC是直角三角形BABC是等腰三角形CABC是等腰直角三角形DABC是锐角三角形解析：当sinA ，cosB 时，AB45， 所以ABC是等腰直角三角形基础自测C2(2011湖州)如图，已知在RtABC中， C90，BC1，AC2，则tan A的值为( )A2 B.C. D.解析：在RtABC中，C90， tanA .B3(2011茂名)如图，已知45cos ACsin Atan ADsin AB，BCAC，在RtABC中，sinA ，cosA ，sinAcosA.B4(20011镇江)如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为D. 若AC ，BC2，则sinACD的值为( )A. B.C. D.解析：在RtABC中，ACB90，AC ，BC2，则AB3.由CDAB，得ACDB，所以sinACDsinB .A5(2011苏州)如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点若EF2，BC5，CD3，则tan C等于( )A. B. C. D.解析：连接BD，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF是ABD的中位线，BD2EF224.在BCD中，BD4，BC5，CD3.由BD2CD2BC2，得BDC90，所以tanC .B题型一 特殊角三角函数参与实数运算 【例 1】 计算tan45sin454sin30cos45 tan30.解：原式1 4 .探究提高 利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记题型分类 深度剖析知能迁移1 计算：(1) tan45的值是_；解析： tan45 1110.0(2)2sin60_；解析：2sin602 .(3) _.解析： |tan301|1tan301 .1题型二 仰角、俯角、方向角有关问题 【例 2】 已知：如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30，再往条幅方向前行20m到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60，求宣传条幅BC的长(小明的身高不计，结果用含有根号的式子表示)解：设BCx，在RtBCF中，tanF ，CF x.在RtBCE中，tanBEC ，EC x.FEFCEC， x x20. x20，x10 .答：宣传条幅BC的长是10 m.探究提高 此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通常由视线、水平线、铅垂线构成直角三角形，再利用边与角之间存在的三角函数式，变形求得物体高度知能迁移2 (2011潜江)五月石榴红，枝头鸟儿歌一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处从A处看房屋顶部C处的仰角为30，看房屋底部D处的俯角为45，石榴树与该房屋之间的水平距离为3 m，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.解：作AECD于点E.由题意可知：CAE30，EAD45，AE3 m. 在RtACE中，tanCAE ，即tan 30 . CE3 tan 303 3m，AC2CE236(m). 在RtAED中，ADE90EAD904545，DEAE3 (m)DCCEDE(33 )m. 答：AC6m，DC(33 )m. 题型三 解直角三角形的简单应用 【例 3】 (2012赤峰)关于三角函数有如下的公式：sin()sincoscossin cos()sincossinsin tan()(1tantan0) 利用这些公式可以将一些不是特殊的三角函数转化为特殊角的 三角函数来求值，如tan105tan(4560) (2 )根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： 如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角为60，底端C点的俯角为75，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高解：过点D作DEAB于E，在RtADE中，ADEa60，AEEDtan60BCtan6042 .在RtACB中，ACB75，ABBCtan75，tan75tan(4530) 2 ，AB42(2 )8442 ，CDBEABAE8442 42 84.答：建筑物CD的高为84m.探究提高 在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题知能迁移3 (2011安顺)一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行40m到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度(参考数值：tan 31 )解：如图，过点C作CDAB于D ，由题意DAC31，DBC45，设CDBDx，则ADABBD40x，在RtACD中，tanDAC ，则 ，解得x60.答：这条河的宽是60m.题型四 解直角三角形在实际中的应用 【例 4】 (2012杭州) 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75方向上，距离P点320千米处(1)说明本次台风会影响B市；(2)求这次台风影响B市的时间 解题题示范规规范步骤骤，该该得的分，一分不丢丢！解：(1)作BHPQ于点H，在RtBHP中，由条件知，PB320，BPQ754530，得BH320sin30160200，本次台风会影响B市 4分(2)如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束由(1)得BH160，由条件得BP1BP2200，P1P22 240， 8分台风影响的时间t 8(小时) 10分探究提高 此类问题一般求出危险区域中心的距离，看其是否小于圆形危险区域的半径，其实质是判断圆和直线的位置关系求影响情况，通常以此为圆心，以台风影响半径为半径画圆，交台风行进路线于两点，这两点之间的距离就是受影响其间台风所经过的路程，其中最靠近台风方向的一点表示台风开始影响，另一点表示台风结束影响知能迁移4 (2012乌鲁木齐)某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为i1 ，(i1 是指铅直高度DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10m，天桥另一斜面AB坡角ABG45.(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；(2)求DE的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45坡角改为30，方便过路群众，改建后斜面为AF.试计算此改建需占路面的宽度FB的长(结果精确0.01)解：(1)在RtAGB中，ABG45，AGBG，AB的坡度 1.(2)在RtDEC中，tanC ，C30.又CD10，DE CD5.(3)由(1)知，AGBG5，在RtAFG中，AFG30，tanAFG ，即 ，解得FB5 53.66.答：改建后需占路面宽度约为3.66 m.24添加辅助线，把分散条件集中起来 试题 如图，AD是BC边上的高，ADDCBD123，求BAC的度数学生答案展示 不能添加辅助线来考虑，从而无法下手剖析 如图，延长BA，过C画CEAB，只要求BAC的外角即可易错警示正解 过C作CEBA，交BA的延长线于点E.设ADm，则DC2m，BD3m，AC m，AB m.BB，ADBCEB90，BECBDA.