第5章 静定桁架和组合结构的受力分析 本章教学基本要求：理解理想桁架的概念；熟练掌握静 定平面桁架杆件轴力的计算方法；能利用结点平衡的特 殊情况判定零杆和等力杆；掌握静定组合结构的受力特 点及内力计算方法；了解静定空间桁架的几何组成规则 及杆件轴力的计算方法；了解静定结构的力学特性。 本章教学内容的重点：运用结点法、截面法计算桁架 各杆轴力；静定组合结构内力的计算方法；三种平面梁 式桁架的受力特点。 本章教学内容的难点：合理地确定计算路径，恰当 地选择隔离体和平衡方程。 本章内容简介 5.1 桁架的特点和组成5.2 静定平面桁架 5.3 三种平面梁式桁架受力性能比较 *5.4 静定空间桁架5.5 静定组合结构5.6 静定结构的特性5.1 桁架的特点和组成a)屋架160m80m16mb)桥梁c)水闸闸门一、关于桁架计算简图的三个假定1）各结点都是光滑的理想铰。2）各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。上弦杆3）荷载和支座反力都作用在结点上，且通过铰的中心。 满足以上假定的桁架，称为理想桁架 上弦杆下弦杆节间长度 跨度ldh 桁高斜杆 竖杆 1212FNFNFQ1=0FQ2=0二、桁架的组成特点理想桁架是各直杆在两端用理想铰相连接而组成的 几何不变体系（格构式结构、链杆体系）。 三、桁架的力学特性 理想桁架各杆其内力只有轴力（拉力或压力）而无弯 矩和剪力。 上弦杆下弦杆节间长度 跨度ldh 桁高斜杆 竖杆 1212FNFNFQ1=0FQ2=0四、主内力和次内力按理想桁架算出的内力（或应力），称为主内力（或 主应力）；由于不符合理想情况而产生的附加内力（ 或应力），称为次内力（或次应力）。大量的工程实 践表明，一般情况下桁架中的主应力占总的应力的 80%以上，所以，主应力的确定是桁架中应力的主要 部分。也就是说，桁架的内力主要是轴力。 五、静定平面桁架的分类 1、按桁架的几何组成方式分1）简单桁架从一个基本铰结三角形或地基上 ，依次增加二元体而组成的桁架。 a）e）d）2）联合桁架由几个简单桁架按照两刚片或三刚片 组成几何不变体系的规则构成的桁架。 3）复杂桁架不是按上述两种方式组成的其它桁架 b）c）2、按桁架的外形分1）平行弦桁架。2）三角形桁架。3）折弦桁架。4）梯形桁架。 a）b）d）e）3 、按支座反力的性质分1）梁式桁架或无推力桁架。2）拱式桁架或有推力桁架。 f）5.2 静定平面桁架 计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，仍是隔离体平 衡法。根据截取隔离体方式的不同，又区分为结点法和 截面法。 一、结点法结点法是截取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系 的两个平衡条件，求解各杆未知轴力的方法。 结点法最适合用于计算简单桁架。 1、利用力三角形与长度三角形对应边的比例关系简化计算 为了便于计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力FN，而是将 其分解为水平分力Fx和Fy先行计算。利用这个比例关系， 就可以很简便地由其中一个力推算其它两个力，而不需要 使用三角函数进行计算。 FNFNFxFylxlyloxyBAa(长度三角形)(力三角形)一、结点法用图示桁架为例，来说明结点法的应用。首先，可由桁架的整体平衡条件，求出支座反力，标注 于图5-5a中。然后，即可截取各结点解算杆件内力。 15kN15kN15kN 4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN115kNFN12FN13Fx13Fy13一、结点法15kN15kN15kN 4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN15153520120 21520201531535152030405060460600515205030400456075120660604575451207120454512015kN15kN15kN 4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN-20-20-12020 15 15255040 30060 4575-456060-+一、结点法2、利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆 (1)关于零杆的判断 在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为零杆。 2）T型结点：成T型汇交的三杆结点无荷载作用，则不 共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内 力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。1）L型结点：成L型汇交的两杆结点无荷载作用，则这 两杆皆为零杆。 L型结点T型结点T型结点（推广）FN1=0FN2=0FN3=0(单杆)FN2= FN1FN1FN1 =FPFN2=0FP=(2)关于等力杆的判断1）X型结点：成X型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼 此共线的杆件的内力两两相等。 X型结点FN1FN3FN2= FN1FN4= FN32、利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆 2）K型结点：成K型汇交的四杆结点，其中两杆共线， 而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载 作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。 3）Y型结点：成Y型汇交的三杆结点，其中两杆分别 在第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆 轴线方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且 符号相同。 K型结点Y型结点FN1FN1 FN3FN3FN2= FN1FN2= -FN1FN4 FN3aaaa2、利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆 【例5-1】试求图示桁架各杆的轴力。 解：(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的反力。 (2)判断零杆 (3)计算其余杆件的轴力 AABBCCDDEEEFPFPFPFP1.5aaaaa1.5a4FP /34FP /312345678910FNE1FNE2FxE2FyE2-4 FP /3-4 FP /3-4 FP /3-4 FP /35FP /35FP /35FP /35FP /3【例5-2】试求图示桁架杆件a的轴力。 首先，假设FN14=FN，取结点1为隔离体，由 可得 FN12 = FN14 = FNllllFP1234a14设FN14= FN FN12= FN FNaFNFNFP依次由结点2（属K型结点推广情况）和结点3（属K型结点情 况），可判定 FN23 = -FN12 = -FNFN34 = -FN23 = FN llllFP1234a14设FN14= FN FN12= FN FNaFNFNFP再取结点4为隔离体，由 ，得 （拉力） llllFP1234a14设FN14= FN FN12= FN FNaFNFNFP最后，再回到结点1，由 ，得（压力） llllFP1234a14设FN14= FN FN12= FN FNaFNFNFP上述这种解题方法，习称通路法（或初参数法）。通路 法实际上是结点法（或下面将介绍的截面法）再加上一 “通路边界的平衡条件”。 通路法的具体作法是：1）选择一适当的通路（如本例从1234再回到1 ），要求回路要通畅，且愈短愈好。先设通路上一杆的 轴力为FN。 2）由结点法（或截面法）依次求出通路上其它杆的轴力， 表为初参数FN的函数。 3）最后，由结点平衡或取部分结构的平衡，利用通路 边界的平衡条件，求出FN，于是，整个桁架的计算即 无困难。 3、求解一个结点同时包含两个未知斜杆内力的简便方法由 ，得可由比例关系求得 FPFPFPFPABCDEFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2又 由，得 可由比例关系求得FP FPFPFPABCD EFGH 2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2二、截面法截面法是截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离 体，利用平面一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件 未知轴力的方法。截面法最适用于联合桁架的计算；简 单桁架中少数指定杆件的内力计算。 1、选择适当的截面，以便于计算要求的内力 在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平衡方程及 其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在适当的位置进行分解， 就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程求出一个未知轴力 ，从而使计算工作得以简化。 解：取-截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一 个平衡方程解出一个未知力。 由 ，可得 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,10【例5-3】试求图示桁架指定杆件a、b的轴力。 由 ，可得 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,102、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力FPFPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFAyFAyFByFByaaAB CCCABACxyFNaFNa00(矩心)【例5-4】试求图示桁架指定杆件1、2、3的轴力。解：截取截面-左边部分为隔离体，只需注意选择适 当矩心，分别列写出相应的三个力矩平衡方程，即可求 出所截开三杆的未知轴力。 FPFPFPABCD EFGH 2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPACF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一)FPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二)FPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2F(1)求FN3 在 图5-14b中，由 ，得 1.5FP4 - FP2 + Fx32=0 FPFPFPABCD EFGH 2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPACF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一)(2)求FN2：在图5-14c中，由 ，得 FPFPFPABCD EFGH 2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二)(3)求FN1：在图5-14d中，由 ，得 FPFPFPABCD EFGH 2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2F3、截面法求解联合桁架截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆 的轴力。 作-截面并取左边（或右边）为隔离体，由 求出FNa。 FPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFByAABCCDEDaFNa(联系杆)可作一封闭截面-，截取隔离体如图5-16b所示，由可求出FNb；由 ，可求出FNa；由 ，可求出FNc（由于FN1、FN2均成对出现，计算中有关项相互抵消）。 FPFP FAyFByABCDabc1 2FPFByFNbFNaFNcFPFN1FN1FN2FN2三、结点法与截面法的联合运用 【例5-5】试求图示桁架指定杆件a、b、c的轴力。 解：(1)求FNa：取截面-上边部分为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-(2)求FNb：取结点1为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-(3)求FNc：取结点2为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-【例5-6】试求示桁架指定杆件a、b、c的轴