一、问题的提出如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸 L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分 别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米 ，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个 水泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经 济合理的设计方案。8l10Q14P河图1R即找一点 R ，使 R 到P、Q及 直线 l 的距离之和为最小。二、提出方案8l10Q14P河图1水泵站R建立在河 边（即L上），则问题 转化为在L上找一点R， 使|RP|RQ|为最小。方案一：8l10Q14P河图1R水泵站R建立在河 边（即L上），则问题 转化为在L上找一点R， 使|RP|RQ|为最小。方案一：8l10Q14P河图1水泵站R不建在河边， 则问题转化为要在L的 P、Q一侧找点R，使 R到P、Q及L的距离 之和最小。方案二：8l10Q14P河图2RR三、论证方案8l10Q14P河图1R8l10Q14P河图2R方案一：方案二：、对于方案一：联想平几知识，用光学性质 建模：作点Q关于直线L的对 称点Q ， 连 P Q 交 L于R， 则R为所求（如图）这样所需直线输水管 的总长度为：S(R )| PQ | 22.72千米 。lPQRQS三、论证方案8l10Q14P河图1R8l10Q14P河图2R方案一：方案二：2、对于方案二PQ RQ这里建立的是关于x、y的二元函数模型，但 求解困难。yxO思路一 ： 图建立如图的 坐标系，则易得P（0，10）、 Q（ 8 ，8）设点R(x , y ) ， 则S(R)|PR| + |RQ| + |RM| 。 用判别式法可得 S(R)21或S(R) 3. 因为S(R)0 故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y 5， 于是Q( , 2 ) PQ的直线方程为y ，把y 5代入得x5，故|RP|= =10 (km), | RQ|= = 6(km) , R到河岸 的距离为5(km)。yx如图4，过R作L/x 轴，则问题 转化为在 L上找点R， 使RPRQ为最小。作Q关于L的对称点 Q，则 S(R)| RP | | RQ | y | PQ |y ， 取这样的 R，使 S(R)| PQ |y 则S(R) (1)思 路 二PQ RMl图4Q若把|PR| |RQ|看作定值，则R在以P、Q为焦点 的椭圆上，故这需在椭圆找点R，作R到L的距离 最小，因此可考虑运用椭圆的定义和直线与椭圆 的关系建模。思路三 ： PQ图5o如图5所示，建立直角坐标系， P、 Q为椭圆的焦点，L /L，且L切椭圆于 R，根据题意，易求出直线L为： x4 y630 (1) 设L为： x4 yn0 (2)yxLLR椭圆方程为： (3)联立(2) (3)，化简得 (4)根据L为椭圆的切线，得0解得：n2 4 9（a248）。由题 意n 0 ， 则n7 ，所以直线L 为：x4 y7 0.所以L与L的距离为：故输水管的总长度：S(R) 2a 9 (5) 用法，可得S(R)21或S(R) 3，由于S(R)0， 则S(R)21， 即S(R)的最小值为21, 代入(5), 解得a8,从而d5,进一步可求出|PR|10, |PQ|6。思路四 ： 如图6 ， AB/L ， RH L， PRAQRB30. 设QB=x 则 PAx2，AR (x2)，RB x 由 AB8 ， 得 (x2) x 8 。所以 x3 ，从而 RP10,PQ6 , RH5 .P QRABCDH 图6l联想经典的数学问题，运用费尔马点建模四、论证结论R8l10Q14P河*方案二更经济合理*即选这样的点 R ，使 R 到河岸 L 的距离为5千 米，到工厂 P 的距离为10 千米，到工厂 Q 的距离为 6千米，这时所需总水管 的长度为21千米。、若将直线 L缩成一个点（如向水库取 水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到 三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费 尔马点）。 五、问题引申河PQ图、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（ 如图），该如何选点？、数学建模就是把实际问题数学化。数学模型 就是通过抽象和简化，使用数学语言、数学符号对实 际现象给予推理、论证，从而得出实际问题结论。、建模的基本程序是： 实际问题数学语言数学符号实际问题的结论数学问题的解数学模型量化经验抽象概括整 理假 设实践检验运 算推 理评 价检 索类 比问 题 解 决六、小结