成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-3 概率第二章“双色球”每注投注号码是由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成红色球号码从133中选择；蓝色球号码从116中选择双色球奖级设置分为高奖级和低奖级，各奖级和奖金规定如下：一等奖：当奖池资金低于1亿元时，奖金总额为当期高奖级奖金的75%与奖池中累积的资金之和，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元当奖池资金高于1亿元(含)时，奖金总额包括两部分，一部分为当期高奖级奖金的55%与奖池中累积的资金之和，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元；另一部分为当期高奖级奖金的20%，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元二等奖：奖金总额为当期高奖级奖金的25%，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元三等奖：单注奖金固定为3000元四等奖：单注奖金固定为200元五等奖：单注奖金固定为10元六等奖：单注奖金固定为5元，如果某人随机购买这样的彩票，那么他能中各等奖的概率有多大？2.1 离散型随机变量及其分布列第二章课堂典例探究2课 时 作 业3课前自主预习1课前自主预习在2014年第二届青奥会射击比赛中，统计某运动员的射击结果知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环，8环，9环，10环的概率依次成等差数列你知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？一、离散型随机变量(一)离散型随机变量的概念1在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母X，Y，表示，也可以用希腊字母，表示理解随机变量的概念时，注意以下两点：(1)在介绍随机变量的概念时，引入了“随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验(2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的，这与函数概念的本质是一样的，随机变量是将随机试验的结果数量化2如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量，例如某人射击一次，可能出现的环数X的值是0环，1环，10环，即可能的结果用0,1,2，10这11个数表示，则X就称为离散型随机变量(二)随机变量与函数的关系(1)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源(2)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把试验结果映射为实数，函数把实数映射为实数，在两种映射中，试验的结果相当于函数的定义域，随机变量的取值相当于函数的值域，我们把随机变量的取值范围称为随机变量的值域(3)若X是随机变量，则YaXb(a，b是常数)也是随机变量注意：函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，试验结 果(即样本点)相当于自变量抛掷两枚骰子，所得点数之和记为，那么4表示的随机试验结果是( )A一颗是3点，一颗是1点B两颗都是2点C两颗都是4点D一颗是3点、一颗是1点或两颗都是2点答案 D二、离散型随机变量的分布列1一般地，设离散型随机变量X的取值为x1，x2，x3，xn，X取每个值xi(i1,2，n)的概率为P(Xxi)pi，则下表为随机变量X的概率分布或称X的分布列.Xx1x2xixnPp1p2pipn2.离散型随机变量分布列的性质(1)离散型随机变量分布列的两条性质0pi(i1,2,3，n)和p1p2pn1是检验一个分布列是否正确的重要依据，尤其是要看它们的概率之和是否等于1.可利用这两条性质求出分布列中的未知参数(2)离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的故有：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和答案 C在理解二点分布的概率时注意以下两点：(1)二点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1.(2)二点分布的应用十分广泛，如抽取的奖券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中；射击一次是中靶还是脱靶，都可以用二点分布来研究4离散型随机变量分布列的求法求离散型随机变量分布列时，明确离散型随机变量取每个值所表示的意义是关键，其一般步骤是：(1)明确离散型随机变量所有可能的取值，以及取每个值所表示的意义；(2)利用概率的有关知识，求离散型随机变量取每个值的概率；(3)按规范形式写出其分布列一袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止求取球次数X的概率分布列3求超几何分布列的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n；(2)确定X的所有可能取值；(3)利用公式计算P(Xk)；(4)写出分布列(用表格或式子表示)从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为X的分布列课堂典例探究下列所述：某座大桥一天经过的车辆数；某无线电寻呼台一天收到寻呼的次数；一天之内的温度；一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分其中为离散型随机变量的是( )A BC D 离散型随机变量的定义 解析 根据离散型随机变量的定义，可知中的可能取的值，可以按一定次序列出，而中的可以取某一区间内的一切值，属于连续型随机变量，故选B.答案 B方法总结 离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着本质的区别：对于离散型随机变量而言，它可能取的值能按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，此时无法对其中的值一一列出下面给出四个随机变量： 北京“鸟巢”在某一天的游客数量X是一个随机变量；一个沿直线yx进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；在一段时间间隔内某种放射性物质发出的粒子数Y；若以测量仪表的最小单位计数，测量的舍或入的误差Y是一个随机变量 其中是离散型随机变量的序号为( )A BC D答案 C解析 中变量的取值不能一一列出.一袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列离散型随机变量的分布列 分析 随机取出3个球的最大号码X的所有可能取值为3、4、5、6.“X3”对应事件“取出的3个球的编号为1、2、3”；“X4”对应事件“取出的3个球中恰取到4号球和1、2、3号球中的2个”；“X5”对应事件“取出的3个球中恰取到5号球和1、2、3、4号球中的2个”；“X6”对应事件“取出的3个球中恰取到6号球及1、2、3、4、5号球中的2个”，而要求其概率则要利用等可能事件的概率和排列组合知识来求解，从而获得X的分布列将一枚骰子掷两次，第一次掷出点数减去第二次掷出点数的差为，求的分布列两点分布 二点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生儿的性别，投篮是否命中等，都可以用二点分布来研究某试验虽然不是只有两种结果，然而我们只关注某事件是否发生，我们可以将其转化为二点分布. 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列分析 利用超几何分布的概率公式超几何分布 方法总结 本类题目，关键是判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：(1)取到的次品数X的分布列；(2)至少取到1件次品的概率分布列概念的理解 方法总结 离散型随机变量的两个性质主要解决以下两类问题：(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求得概率，得出分布列(2)求对立事件的概率或判断某概率的成立与否方法总结 随机变量并不一定要取整数值，它的取值一般来源于实际问题，并有其特定的含义，因此，它可以是R中的任意值，但并不意味着可以取任何值，它只能取分布列中的值，而随机变量取某值时，其所表示的某一试验发生的概率值，必须符合性质，将分布列简写成一个通项型表达式，只是为了叙述方便，而表格形式更能直观反映每种试验可能的分布，两种形式实质内容是一致的由本例可知，利用离散型随机变量分布列可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列随机变量取不同的值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率辨析 的概率分布亦称的分布列，应具备以下性质：pi0，i1,2,3，(因此B错)p1p2p31(因此C错)的取值互不相等(因此D错)正解 A