第4章 控制系统的稳定性分析舒欣梅 西华大学电气信息学院第4章 控制系统的稳定性分析4.1 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫第二法 4.3 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.4 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析4.5 非线性系统的稳定性分析 4.6 MATLAB在系统稳定性分析中的应用 引言：1、稳定性是控制系统的首要问题。 2、经典理论判稳方法及局限性。A、直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是 否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯古 尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。局限性是仅 适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。B、间接判定：方程求解对非线性和时变通常很难 。3、现代控制理论判稳方法：俄李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通 用方法，适用于各种系统。 4、本章重点内容：李氏第二法及其应用。李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李 氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。对 任何复杂系统都适用。李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解 的性质判稳间接法一、系统：4.1 李雅普诺夫稳定性定义 二、平衡状态：设 ，稳定性是系统本身的一种动态 属性，与外界输入无关。因此初始状态系统 中对所有t，必存在一些状态 点 ，使 ，该类状态点 称为系统的平衡状态意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维 持平衡，不再随时间变化，即平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统坐标原点是 唯一平衡点2、非线性系统三、范数：衡量（度量）状态空间距离的 大小向量x的长度称为向量x的范数：向量 与 的距离为将 限定在某一范围时，记作几何意义：在n维状态空间中， 表示以 为球心，以 为半 径的一个球，记作四、稳定性的定义在f的作用下， 偏离 有三种情况如果 与 无关，则称平衡状态是一致稳定的。 1、李氏稳定2、渐进稳定（经典控制理论中定义）3、大范围渐进稳定4、不稳定Lyapunov意 义下稳定渐进稳定渐进稳定不稳定4.2 李雅普诺夫第二法李氏第二法：直接判稳，构造一个李氏函数V(x)，根 据V(x)性质判稳对任何系统都适用。一、基本思想举例如下（二）虚构能量函数V(x)李氏函数既可以描述物理系统，又可描述社会系统，满足3个 条件：二 、二次型函数的预备知识（一）二次型定义及其表达式f(x,y)=ax2+2bxy+cy2每项二次数都是二次的矩阵表示：（二）标量函数V(x)的符号、性质（三）二次型V(x)正定性的赛尔维斯特(Sylvester)准则P阵为实对称阵为正定的充要条件是 的所有顺序主子行列式 都是正的。如果 的所有主子行列式为非负的（其中有的 为零），n阶行列式为0，那么 为半正定的。如果 的偶数阶主子行列式为正，奇数阶主子行 列式为负，的那么 为负定的。如果 的偶数阶主子行列式为非负，奇数阶主子 行列式为非正，n阶行列式为0，那么 为负半 定的。解：二次型可以写为 ,因为所以例4.1.2 证明下列二次型函数是正定的。在平衡状态 的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导数，并且满足：1） 为正定；2） 为负定。则 为一致渐近稳定的。如果 ， ，则 是大范围一 致渐近稳定的。 三、 李雅普诺夫第二方法定理4-1 设系统状态方程为所以系统是稳定的，并且是大范围一致渐近稳定的 。 V(x)的构造方法是关键，但李氏方法未给出 构造V(x)的一般方法。原理简单，实用困难 。 重点理解：小结：1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息。3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳定性方面的任何结论。几点说明解: 系统具有唯一的平衡点 解法1 取 则因为除原点处外， 不会恒等于零。 当时，所以系统在其原点 处大范围渐近稳定。例 已知系统试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。解法2 取 则当时，所以系统在其原点 处大范围渐近稳定。5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那 么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存 在的。4.3 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析4.3.1 稳定性分析定理4.3.1: 系统在原点全局渐近稳定的充要条件为方程,有唯一正定对称解. 证明：充分性：考虑系统其中令如果 则大范围渐近稳定。 必要性：略。定理4-6 系统统 渐近稳定的充要条件为：给定正定实对称矩阵 ，存在正定实对称矩阵 使式 成立由于 阵的形式可以任意给定，并且最终的判断结果与 正定阵 阵的不同选择无关。故可以选取 ，即单位 阵，再根据式（4-8）求出 阵，用赛尔维斯特判据来验 证其正定性。当 阵是正定阵时，则可知 为大范围 一致渐进稳定的。另外，根据定理4-2，如果 沿任一条轨迹不恒等于零，则 可取正半定矩阵。（注：线性定常系统，可以判断A的特征值是否全部具 有负实部，既可以判别其稳定性。）例: 分析下列系统稳定性解：令得则由解上述矩阵方程，有即得因为可知P是正定的。因此系统在原点处是大范 围渐近稳定的。 练 习设则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程存在唯一正定对称解如果沿任一解的序列不恒等于零，则 可取半正定的。定理 4.3.2 对线性离散系统判稳步骤例 试确定系统在原点的稳定性, 得解:在李雅普诺夫方程中,取由此解出从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的.令式中的 ，设 对可微。系统的雅克比矩阵为4.4 李雅普诺夫方法在非线性系统中应用4.4.1 克拉索夫斯基方法定理4.4.1设系统的状态方程为证: 显然 。因为 范围渐近稳定。 ，有，那么大其中 为 的共轭转置矩阵，如果那么渐近稳定。如果随着 ，当时，有 。 所以渐近稳定在时，大范围渐近稳定。 所以解: 由平衡状态的稳定性。例4.4.1 利用克拉索夫斯基定理确定下列系统在且时，有所以是大范围渐近稳定的。练习n该定理仅是系统在平衡状态处渐进稳定的充 分条件。n使为 负定的必要条件是 主对角线上 所有元素均不为零，即不能采用克拉索夫斯基方法n线性系统可看作非线性系统的特殊情况，故 也适用于线性系统关于定理4.4.1的几点说明4.5 李雅普诺夫稳定性分析的应用 一、线性定常系统设计（古典校正） 不稳定系统（校正）稳定n 使 极 小 (1)设 调节参数使 极小。(2) 必须逐渐稳定，否则问题无解。(3)由知存在,使得令 于是有由 ,知二、利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题(1) 问题描述 ： n (4)注意到 和 的函数，调节 使 最小。例4.3.3 给定系统的状态方程为试确定阻尼比的值，使系统的性能指标，其中 达到最小值。解得于是有解: 由 ，知再令于是得将 代入上式，知 。