第四章 控制系统的时域分析机械工程控制基础第四章 控制系统的时域分析引言为了分析系统的性能，首先要建立其数学模型，然后可用各种不同的分析方法进行分析研究。对于 线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法、 根轨迹法和频率分析法。时域分析就是对一个特定的输入信号，通过拉氏 变换，求取系统的输出响应。由于系统的输出量 一般是时间t的函数，故称这种响应为时域响应。 第四章 控制系统的时域分析时间响应及其组成 1、时间响应 定义：在输入作用下，系统的输出（响应） 在时域的表现形式，在数学上，就是系统的 动力学方程在一定初始条件下的解。时间响 应能完全反映系统本身的固有特性与系统在 输入作用下的动态历程。 2、时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用 下，系统输出随时间变化的情况，以分析和 研究系统的控制性能。第四章 控制系统的时域分析一、典型输入信号1、定义: 一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰 动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函 数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为 了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型 意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为 控制系统的典型输入信号。优点：直观、简便 第四章 控制系统的时域分析2、作用: 在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但 由于在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任 意输入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以 ，只要知道系统对典型输入信号的响应，再利用关 系式：就能求出系统对任何输入的响应。第四章 控制系统的时域分析3、常用的典型输入信号单位正弦函数1 单位脉冲函数t， t0 单位斜坡函数1(t)，t0 单位阶跃函数 复数域表达式 时域表达式 名 称 (t)，t=0 sint 第四章 控制系统的时域分析10t1(t)单位阶跃函数1(t)在t=0时不确定。 对于幅值为R的阶跃函数可表示为： f(t)=R1(t) 第四章 控制系统的时域分析10tf(t)单位斜坡函数1第四章 控制系统的时域分析0t(t)单位脉冲函数单位脉冲函数可以看成单位阶跃函数的导数：反过来，单位脉冲函数的积分就是单位阶跃函数：第四章 控制系统的时域分析能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；4、典型输入信号的选择原则如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶 跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则 可选速度信号。注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信 号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不 会改变。第四章 控制系统的时域分析二、MATLAB/Simulink 在时域分析中的应用 时域分析，尤其是高阶系统的时域分析，其困难主要表现在系统极点的获取上，以及在已知响应 表达式的基础上，如何绘制响应波形和求取性能 指标等一系列问题上，这些均涉及大量的数值计 算MATLAB/Simulink的仿真平台为此提供了强有力的工具。第四章 控制系统的时域分析1、时域分析中MATLAB函数的应用 控制系统常用的输入函数为阶跃函数 和脉冲函数（即冲激函数）。在MATLAB的控制系统工具箱中提供 有单位阶跃函数step()、冲激响应函数impulse() lstep()函数的用法y=step(num,den,t) y,x,t=step(num,den) 有返回值： y,x,tstep(A,B,C,D,iu) 第四章 控制系统的时域分析如果对具体的响应值不感兴趣， 而只想绘制系统的阶跃响应曲线， 则可采用以下格式进行函数调用：第四章 控制系统的时域分析limpulse（）函数的用法有返回值绘制曲线第四章 控制系统的时域分析2、MATLAB在时域分析中的应用实例 例41 已知系统的闭环传递 函数试求所述系统的单位阶跃响应曲线和脉冲响应曲线。第四章 控制系统的时域分析MATLAB程序代码如下： num=1; den=1 0.4 1; sys=tf(num,den); subplot(121) step(sys) ylabel(x_o(t) Grid on subplot(122) impulse(sys) ylabel(x_o(t) Grid onxlabel(字符串)， ylabel(字符串)： 设置x，y坐标轴的名称。 输入特殊的文字需要用 反斜杠（）开头。（P37） subplot(m,n,k)： 分割图形显示窗口， m表示上下分割个数， n表示左右分割个数， k表示子图编号。绘制阶跃响应曲线绘制脉冲响应曲线第四章 控制系统的时域分析运行结果如图45所示。第四章 控制系统的时域分析三、一阶系统的时域分析一阶系统（惯性环节） 极点（特征根）：-1/T1、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换则系统的输出为 第四章 控制系统的时域分析在MATLAB中对上式进行拉氏反变换,其程序为syms F s t TF=1/(s*(T*s+1)xo=ilaplace(F,s,t)执行上述程序得xo = 1-exp(-t/T)（410a）也即输出响应为： 令a=t/T则式（410a）变为 （410b）第四章 控制系统的时域分析10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T一阶系统的单位阶跃响应曲线 第四章 控制系统的时域分析用MATLAB编制 m文件绘制响应曲线，程序代码如下：第四章 控制系统的时域分析hold on a=0:0.2:10 xo=1-exp(-a); plot(a,xo,k) a0=0 10 y0=1-exp(-1) 1-exp(-1) y1=0 1 x1=0 1 plot(a0,y0,k,x1,y1,k) xlabel(t/T) ylabel(x_o(t) grid on gtext(x_0(1)=0.632) hold off(P34)hold on：把当前图形保持 在屏幕上不变，同时允许在这个 坐标内绘制另外一个图形。 hold off：使新图覆盖旧图。(p34)plot(x1,y1,option1,x2,y2,option2,.)： x1，y1给出的数据分别为x，y轴坐标值， option1为选项参数，以逐点连折线的方式 绘制1个二维图形；同时类似地绘制第二个 二维图形。这是plot命令的完全格式，在实 际应用中可以根据需要进行简化。比如 plot(x,y)；plot(x,y,option)，选项参数 option定义了图形曲线的颜色、线形及标示 符号，它由一对单引号括起来。Place text with mouse第四章 控制系统的时域分析运行程序后得到曲线如图46所示。图图46 一阶阶系统统的单单位阶跃阶跃 响应应曲线线第四章 控制系统的时域分析 一阶系统单位阶跃响应的特点 l 响应分为两部分 瞬态响应： 表示系统输出量从初态到终态的变化过程 （动态/过渡过程） 稳态响应：1 表示t时，系统的输出状态 l xo(0) = 0，t0时 xo(t) 呈指数增大，无振 荡。 xo() = 1，稳态误差为零； l xo(T ) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；第四章 控制系统的时域分析l l 时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。2、一阶系统的单位斜坡响应因为单位斜坡函数的拉氏变换第四章 控制系统的时域分析则系统的输出为 在MATLAB中对上式进行拉氏反变换,其程序为syms F s t TF=1/(s2*(T*s+1)xo=ilaplace(F,s,t)执行上述程序得xo = -T+t+T*exp(-t/T)第四章 控制系统的时域分析也即系统在单位斜坡信号作用下的响应为（411b）因为（412）所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误 差为（413）第四章 控制系统的时域分析0txo(t) xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=TT一阶系统的单位斜坡响应曲线 第四章 控制系统的时域分析利用MATLAB编程，绘制其源代码如下响应曲线hold on T=0.5 t=0:0.1:2 xo=t-T*(1-exp(-t/T) plot(t,xo,k,t,t, b) x0=1 1 y0=0 2 plot(x0,y0, r) xlabel(t) ylabel(x_o(t) disp(请输入交点：) x1,y1=ginput(1) x2,y2=ginput(1)Graphical input from mouse第四章 控制系统的时域分析abs(y2-y1) gtext(x_o(t),fontsize,14) gtext(x_i(t),fontsize,14) gtext(t=1,fontsize,14) gtext(leftarrow交点1,fontsize,14) gtext(交点2rightarrow,fontsize,14) grid on hold offPlace text with mouse运行程序得到响应曲线如图47所示 由输入输出信号与直线t=1 的交点图解求出结果： ans =0.4269在程序中设置时间常数T=0.5，计算结果基本正确 第四章 控制系统的时域分析图47 一阶系统的斜坡响应第四章 控制系统的时域分析 一阶系统单位斜坡响应的特点q 瞬态响应：T e t /T ；稳态响应：t T ；q 经过足够长的时间(稳态时，如t 4T )，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：t T，即输出相对于输入滞后时间T； q 系统响应误差为： 第四章 控制系统的时域分析3、一阶系统的单位脉冲响应令，则系统的输出响应 就是该系统的脉冲响应。为了区别其它的响应， 把系统的脉冲响应记为 g(t)，因为所以系统的输出响应的拉氏变换为 ：故第四章 控制系统的时域分析对上式在MATLAB中求反拉氏变换的程序代码为 syms F s t TF=1/ (T*s+1) xo=ilaplace(F,s,t) 运行程序得：xo = exp(-t/T)/T也就是系统的脉冲响应为 （415）第四章 控制系统的时域分析xo(t)1/T0t0.3681 T斜率xo(t)T第四章 控制系统的时域分析根据式（415）编写MATLAB程序代码如下： hold on T=0.5 t=0:0.1:2 xo=exp(-t/T)/T plot(t,xo,k) grid on x0=T T y0=0 1/T x1=T 0 y1=exp(-1)/T exp(-1)/T X2=0 T Y2=1/T 0 plot(x0,y0,b,x1,y1,r,X2,Y2,g) xlabel(t) ylabel(x_o(t) gtext(x_o(t)=exp(-t/T)/T,fontsize,14) hold off第四章 控制系统的时域分析运行上述程序，得系统的响应曲线如图48所示。图48 一阶系统的脉冲响应第四章 控制系统的时域分析 一阶系统单位脉冲响应的特点q 瞬态响应：(1/T )e t /T ；稳态响应：0 ；q 一阶系统对脉冲扰动信号有自动调节能力 ，经过一定时间后，可使脉冲扰动对系统影 响衰减到允许误差内。q q xo(0)=1/T, xo( )=0；第四章 控制系统的时域分析4、小结 系统时域响应