第五讲 神秘的无穷与三次数学危机1目录一、“有无限个房间”的Hilbert旅馆二、无限与有限的区别和联系三、悖论（paradox）四、 数学中的无限在生活中的反 映五、 潜无限与实无限六哲学中的无限七、无穷与数学危机21. “客满”后又来1位客人（“客满”）1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了1号房间 一、“有无限个房间”的Hilbert 旅馆32. 客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间 43. 客满后又来了一万个旅游团， 每个团中都有无穷个客人1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间 5是否有人想提什么问题？64. 思 该旅馆客满后又来了无穷个旅 游团，每个团中都有无穷个客人，还 能否安排？“无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深 刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都 不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没 有任何概念比无穷大更需要澄清”- Hilbert7二、无限与有限的区别和联系1. 区别1） 在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。8当初的伽利略悖论，就是因为没有看到“无限”的这一个特点而产生的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。 9思：构造一个“部分到整体的一一对应”：从0，1）0，+）。102.） “有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立 （1）实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立:(a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c11在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如12（2）有限级数一定有“和”。 是个确定的数无穷级数一定有“和”。 则不是个确定的数。称为该级数“发散”。反之称为“收敛”。132. 联系在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往往很重要。1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。如： ； 自然数N，都 ，使 时， 。140.99999=1?3）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如4）递推公式 , a1 = *有一个著名的例子：兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果虽然可笑，但在逻辑上却耐人寻味，这就是著名的二分法悖论。 15三、悖论（paradox）悖论（paradox）具体是指：由一个被承认 是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻 辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的 结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B 。那么命题B就是一个悖论。1说谎者悖论：最早见新约全书提多书 “我正在说谎” 162.“外祖母悖论”，我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖 母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也 就没了。而我没了，就没有人杀我外祖母， 我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我 ，外祖母就没了，我也就没了这就是悖 论，自己与自己就有矛盾。173.“说谎者循环”： A说：“下面是句谎话。” B说：“上面是句真话。”184、芝诺悖论-由无限引出的芝诺（前490？前430？）是（南意大利的 ）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图 证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的 ，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一 真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角 度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论 。 191）两分法向着一个目的地运动的物体，首先必须经过 路程的中点；然而要经过这点，又必须先经 过路程的四分之一点；要过四分之一点又必 须首先通过八分之一点等等，如此类推，以 至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程， 运动永远不可能开始的。 202）阿基里斯(Achilles)悖论：阿基里斯追不上乌龟。213）飞矢不动悖论一支飞行的箭是静止的：由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而 是静止的，因此箭就不能处于运动状态。 224）“操场或游行队伍”A、B两件物体以等速向相反方向运动。从 静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内 移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小 时内就移动了4公里。由于B保持等速移动 ，所以移动2公里的时间应该是移动4公里 时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时 间。 23症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展2）较早的“反证法”及“无限”的思想3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？ 24芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”；第一、第三反对绝对运动，而第二、第四，反对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。25http:/ishare.iask.sina.com.cn/f/5054 067.html从惊讶到思考数学悖论奇景科学美国人杂志社 马丁加德纳26四、 数学中的无限在生活中的反映1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的（整体看又是圆的）2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的（许多刀合在一起的效果又是光滑的）273） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则图形的面积不规则图形的面积？法.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面积越准28法.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，矩形面积之和 曲边梯形面积； 越小，就越精确；再取极 限 ，就得到曲边梯形的面积。29五、 潜无限与实无限1潜无限与实无限简史潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。30从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数 学家都持潜无限的观点他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷 举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写 在一张张小纸条上，从1，2，3，写起，每写一 张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一 过程将永无终止。 因此，把全体正整数的袋子看作一个实体 是不可能的，它只能存在于人们的思维里。亚里士多德只承认潜无限：不承认直线式由点构 成高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实的实体 ，认为无限只不过是一种说话的方式31康托的集合论与实无限 但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整 数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。 康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响， 但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。 所以康托当时的处境和待遇都不太好。 由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于部分 ”的观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代的 数学家和哲学家都不能理解他的观点，惧怕集合论。有人说 ，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中 之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大 精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂 症，被送进精神病医院。1918年1月6日，康托尔在一家精神 病院去世。 康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。 32康托Georg Ferdinand Philip Cantor (18451918) 德国数学家，集合论的创始者。 1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏 联列宁格勒），1918年1月6日病逝 于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎 世大学,翌年转入柏林大学,主修数学 ，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）魏尔斯特拉斯。1866年曾去格丁根 学习一学期。1867年在库默尔指导 下以数论方面的论文获博士学位。 后即在该大学任讲师，1872年任副 教授，1879年任教授。33实无限、潜无限只是一个硬币的两个面两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在 现代数学中都是有用武之地。微积分采用潜无限，非标准分析采用实无限无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷逼 近的过程，也是一个可供研究的实体Hilbert认为：无穷是一个永恒之谜，无穷是 人类心情宁静的最大敌人34六哲学中的无限1哲学对“无限”的兴趣哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无限”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：35物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。一个人的生命是有限的；一个人对客观世界的认识是有限的。36无限可分与原子论很多思想家都研究过无穷大。古希腊的哲学家们就一条线 段(或者就任何数量而言)，是不是可无限地被分割，或者 说是不是可以最终得到一个不可分割的点(即“原子”)等 问题，展开了无休止的争论。 他们的现代追随者物理学家们今天仍然还在设法解决 同一个问题，他们使用巨大的粒子加速器寻找“基本粒子 ”那些构成整个宇宙的基本砖块。天文学家一直在从 另一个极端的无限广阔的尺度上思索着无穷大问 题。我们的宇宙真像它所呈现在晴朗的黑夜那样无穷无尽 ，或是它有一个边界(在这个边界之外什么东西也不存在) 吗？ 有限宇宙的可能性似乎是对我们常识的一种挑战。我们可 以在任何方向上一直走下去而永远也到不了“边”，这个 事实不是很清楚吗？但是我们将不难看出，当研究无穷大 时，“常识”是一个非常差劲的向导！ 372数学对“无限”的观点的贡献数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。38抢答题 构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近实际：不能跑进9秒）39解答运动员1234百米成绩10