人教版八年级数学(上)11.3.1角平分线 的性质（1）ADBC E自学提纲1.角平分仪为什么能平分一个角？ P192.如何画一个角的平分线？P194.角的平分线的性质是什么？如何证明？ 用几何符号如何表示？P206.课本中利用角平分线的性质解决了一个什 么实际问题？P213.如何通过作一个平角的平分线得到直线的 垂线？P19练习5.证明一个几何命题的步骤是什么？P21不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？么办法？AOBC活 动1再打开纸片再打开纸片 ，看看折，看看折 痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？ （对折）1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?活 动2ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明：在ACD和ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的 对应边相等）AC平分DAB（角平分线的定义）ADBCE根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）OABCE活 动3NOMCENM已知： (如图) 求作： 的角平分线OC.在OMC和ONC中OM=ONMC=NCOC=OC OMCONC(SSS) AOC=BOC 即:OC 是的角平分线.1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 AOB内部交于点C。3、作射线OC，射线OC即为所求。作法：ABOCNM证明:连结MC,NC由作法知:1平分平角AOB2通过上面的步骤，得到射线OC以后，把 它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB 是什么关系？3结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。活 动4ABOCD探究角平分线的性质探究角平分线的性质(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 ？活 动5(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定义）在PDO和PEO中PDO= PEO（已证）1= 2 （已证）OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等） PAOBCED12已知：如图，OC平分AOB，点P在OC 上，PDOA于点D，PEOB于点E 求证: PD=PE探究角平分线的性质探究角平分线的性质活 动5(3)验证猜想角平分线上的角平分线上的 点到角两边的点到角两边的 距离相等。距离相等。(4)得到角 平分线的 性质：活 动5利用此性质怎 样书写推理过程?( 几何符号语言） 1= 2, PD OA， PE OB（已知） PD=PE（角平分线 的性质）PAOBCED12角平分线的性质角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED121= 2,PD OA ，PE OBPD=PE.题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等如图，E是AOB的角平分线OC上的 一点， EMOB垂足为M，且EM=3cm ，求点E 到OA的距离分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分 线的性质，可知点E到OA的距离。解：过E作ENOA垂足为N E是AOB的角平分线上的一点， EMOB， ENOA，EM=EN又 EM=3cm，EN=3cm即点E 到OA的距离为3cm。EBOAC课堂练习MN思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）s公路铁路解：解： 作夹角的角平分线作夹角的角平分线OCOC，截取，截取 OD=2.5cm OD=2.5cm ,D,D即为所求。即为所求。DCs公路铁路活活如图：在ABC中， C=90 AD是BAC的平分线 ，DEAB于E，F在AC上， BD=DF； 求证：CF=EBACDEBF分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需 要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.试试自己写 证明。你一 定行！证明: AD平分C, D是AD上一点（已知）如图：在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB 于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EBDEAB,DCAC（已知）在RtCDF和RtBDE 中BD=DF （已知）DC=DE（已证）Rt CDFRtFDB (HL)CFB（全等三角形对应边相等）ACDEBFDCD(角平分线的性质）随堂练习随堂练习BOACDPE1.如图，OC是AOB的平分线， PD=PEPDOA，PEOB2.如图,在ABC中，ACBC，AD为 BAC的平分线，DEAB，AB7， AC3，求BE= CM.EDCBA4动脑筋动脑筋3.在RtABC中，BD平分ABC， DEAB于E，则：图中相等的线段有 ; 相等的角有： 。哪条线段与DE相等？为什么？若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长。EDCBABE=BC,DE=DCABD= CBDBED= AED= C6810做一做 w已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. w求证:EB=FC. BAEDCF证明： AD平分CABDEAB ，DFAC(已知)DE=DF (角平分线的性质) 在tBED和RtCFD中,BD=CD （已证）DE=DF （已知） Rt BED RtCFD (HL) BE=FC （全等三角形对应边相等 ）回味无穷回味无穷2.定理 角平分线上的点到这个角 的两边距离相等. w OC是AOB的平分线, w P是OC上任意一点PDOA,PEOB, 垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角 的两边距离相等).小结 拓展OCB1A2PDE1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；作业：1、课本习题11.3第1、2题2、已知一个角AOB，你能否只用 一块三角板画出AOB的角平分线 ？说出画法和理由.（思考）再 见