第三章 序列的Z变换3 序列的Z变换3.1 Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(3.1)式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n求和是在之间求和， 可以称为双边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式 (3.2) 第三章 序列的Z变换使(3.3)式成立， Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即(3.3) 第三章 序列的Z变换图 3.1 Z变换的收敛域 第三章 序列的Z变换常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义， 很容易得到FT和ZT之间的关系， 用下式表示： (3.4) 第三章 序列的Z变换式中z=e j表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(3.4)式， 很方便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解：X(z)存在的条件是|z-1|1， |z|1 第三章 序列的Z变换由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里 叶变换不存在， 更不能用(3.4)式求FT。 该序列的FT不存在， 但如果引进奇异函数()， 其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。 第三章 序列的Z变换3.2 序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域。 1. 有限长序列如序列x(n)满足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它第三章 序列的Z变换即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z变换为设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除0与两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。 如果n10， 则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括z=点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：第三章 序列的Z变换n10时， 00时， 0|a|。3. 左序列左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为第三章 序列的Z变换当 n20当 n20第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=点不收敛）。 第一项根据前式的论述，当时收敛因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域第三章 序列的Z变换例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。 X(z)存在要求|a-1 z|Rx-， 其收敛域为Rx- |a|。 如果|a|a， 求其Z反变换x(n)。第三章 序列的Z变换为了用留数定理求解， 先找出F(z)的极点， 极点有： z=a; 当n|a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a|a-1|种收敛域是因果的右序列， 无须求n2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|R x-R y+R y-时，则M(z)不存在。2. 序列的移位设X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+则ZTx(n-n0)=z-n0X(z), R x-|z|R x+ (3.16)第三章 序列的Z变换3. 乘以指数序列设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+y(n)=anx(n), a为常数则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1 z) |a|R x-|z|a|R x+ (3.17)证明因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。第三章 序列的Z变换4.序列乘以n设 则(3.18) 证明 第三章 序列的Z变换5.复序列的共轭设则 证明 (3.19)第三章 序列的Z变换6.初值定理设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)(3.20) 证明 因此 7.终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则 (3.21) 第三章 序列的Z变换证明 因为x(n)是因果序列，因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限第三章 序列的Z变换终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为(3.22) 因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。 第三章 序列的Z变换8. 序列卷积设 则 第三章 序列的Z变换证明 W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。第三章 序列的Z变换例3.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1， 网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另 一种是用Z变换法。第三章 序列的Z变换由收敛域判定y(n)=0,n0。 n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a第三章 序列的Z变换将y(n)表示为 9.复卷积定理如果 ZTx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+w(n)=x(n)y(n)则第三章 序列的Z变换W(z)的收敛域 (3.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为(3.24) (3.25)(3.26)第三章 序列的Z变换证明 由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到第三章 序列的Z变换例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：因此 第三章 序列的Z变换W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。 第三章 序列的Z变换10.帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。那么 v平面上，c所在的收敛域为第三章 序列的Z变换证明 令 w(n)=x(n)y*(n)按照(3.24)式，得到按照(3.25)式，R x-R y-|z|R x+R y+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。 第三章 序列的Z变换如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=e j，得到(3.29) 令x(n)=y(n)得到 上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式还可以表示成下式 ：第三章 序列的Z变换3.5 利用Z变换分析信号和系统 的频域特性 3.5.1 频率响应函数与系统函数设系统初始状态为零，系统对单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j)(3.5.1) 一般称H(e j)为系统的频率响应函数，它表征系统 的频率特性。 第三章 序列的Z变换设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式(3.5.2) 如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与H(z)之间关系如下式：(3.5.3) 第三章 序列的Z变换3.5.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时， h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 一个稳定线性系统的充要条件是H(z)的收敛域包含单位圆。一个线性系统是因果的充要条件是系统函数H(z)的收敛域Z=一个稳定因果系统的系统函数H(z)的收敛域1|z|一个稳定因果系统的系统函数H(z)的全部极点在单位圆内第三章 序列的Z变换例3.5.1已知 分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图3.5所示。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉 冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题3.7)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题3.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。第三章 序列的Z变换(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单 位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图3.5.1(a)所示。第三章 序列的Z变换图3.5.1第三章 序列的Z变换3.5.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性将(3.5.2)式因式分解，得到(3.5.4) 式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr 的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。第三章 序列的Z变换在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量 表示，同样ej-dr用内极点指向ej点B的向量 表示，如图3.5.2所示。和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表将 和 表示式代入(3.5.7)式，得到第三章 序列的Z变换(3.5.8)(3.5.9) 第三章 序列的Z变换系统的传输特性或者信号的频率特性由(3.5.8)式和(3.5.9)式确定。当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(3.5.8)式(3.5.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如图3.5.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性。 第三章 序列的Z变换图3.5.2 频响的几何表示法第三章 序列的Z变换3.5.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性解：由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性|H(e j)|=1,相位特性()=-，频响如图3.5.3所示。 用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢 量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。第三章 序列的Z变换图3.5.3 H(z