11-12学年高二数学：2.2.2 反证法 课件（人教A版选 修2-2）v22.2 反证法v理解反证法的概念，掌握反证法证题 的步骤 v本节重点：反证法概念的理解以及反证法的 证题步骤v本节难点：应用反证法解决问题v反证法，不是从已知条件去直接证明结 论，而是先否定结论 ，在否定结论 的基 础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯 定结论 的真实性v应用反证法证明数学命题的一般步骤：v(1)分清命题的条件与结论 v(2)做出与命题结论 相矛盾的假设v(3)由假设出发应 用正确的推理方法，推 出矛盾的结果v(4)断定产生错误结 果的原因，在于开始 所做的假定不真，于是原结论 成立，从而 间接地证明命题为 真概括地说，反证 法的一般步骤为 ：否定结论 、推理论证 、导出矛盾、肯定结论 v明确反证法的证题 步骤，掌握一些常见 命题的否定形式，熟悉推出矛盾的几种常 见类 型，是用好反证法的关键v1反证法v假设原命题 (即在原命题的条件下，结 论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾， 因此说明，从而证明了 ，这种 证明方法叫做反证法v2反证法常见矛盾类型v在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾” ，所得矛盾主要是指与矛盾，与、 、 或矛 盾，与矛盾不成立假设错误原命题成立已知条件数学公理定理公式定义已被证明了的结论公认的简单 事实v例1 设an是公比为q的等比数列，Sn是它的 前n项和v(1)求证：数列Sn不是等比数列；v(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？v分析 本题(1)是否定性命题，可以尝试反证法 v(2)当q1时，Sn是等差数列v当q1时，Sn不是等差数列，否则S1， S2，S3成等差数列即2S2S1S3，v2a1(1q)a1a1(1qq2)v由于a10，2(1q)2qq2，qq2 ，vq1，q0，与q0矛盾v点评 1.本题的解答依赖于等差和等比 数列的概念和性质，体现了特殊化思想、 分类讨论思想和正难则反的思维策略对 代数的推理能力要求较高v2结论中含有“不”、“不是”、“不 可能”、“不存在”等词语的命题，此类 问题的反面比较具体，适于应用反证法v3反证法属逻辑 方法范畴，它的严谨 体 现在它的原理上，即“否定之否定等于肯 定”，其中：第一个否定是指“否定结论 (假设)”；第二个否定是指“逻辑 推理结 果否定了假设”反证法属“间接解题 方法”，书写格式易错之处是“假设” 易错写成“设”v平面上有四个点，没有三点共线证明以 每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三 角形v证明 假设以每三点为顶点的四个三角 形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、 C、D.考虑ABC，点D在ABC之内或之 外两种情况v(1)如果点D在ABC之内(图1)，根据假设 以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于 270，这与一个圆周角等于360矛盾v(2)如果点D在ABC之外(图2)，根据假设 BAD、B、BCD、D都小于90， 这和四边形内角之和等于360矛盾v综上所述，原结论成立.v分析 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法v点评 1.反证法是利用原命题的否命题 不成立则原命题一定成立来进行证明的， 在使用反证法时，必须在假设中罗列出与 原命题相异的结论，缺少任何一种可能， 反证法都是不完全的v2对于否定性命题或结论中出现“至多 ”、“至少”、“不可能”等字样时，常 用反证法v3常用的“原结论词 ”与“反设词”归纳如下 表：原结 论词至少 有一个至多 有一个至少 有n个至多 有n个 反设词一个也没有 (不存在)至少有 两个至多有 n1个至少有 n1个v例3 已知：一点A和平面.v求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直v分析 v解析 根据点A和平面的位置关系，分 两种情况证明v(1)如图1，点A在平面内，假设经过点A 至少有平面的两条垂线AB、AC，那么AB 、AC是两条相交直线，它们确定一个平面 ，平面和平面相交于经过点A的一条直 线a.v因为AB平面，AC平面，va，所以ABa，ACa，在平面内经过 点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几 何中经过直线上一点只能有已知直线的一条 垂线相矛盾v(2)如图2，点A在平面外，假设经过点A 至少有平面的两条垂线AB和AC(B、C为 垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它 们确定一个平面，平面和平面相交于 直线BC，因为AB平面，AC平面， BC，v所以ABBC，ACBC.v在平面内经过点A有两条直线都和BC垂 直，这与平面几何中经过直线外一点只能 有已知直线的一条垂线相矛盾v综上，经过一点A只能有平面的一条垂线 v点评 1.运用反证法证题时，一定要处理好推 出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求 证的结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此 如何导出矛盾，就成了关键所在，对于三个步 骤，绝不可死记，而要具有全面、扎实的基础 知识，再灵活运用v2证明“有且只有一个”的问题，需要证明两 个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“ 有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等 形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛 盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了v求证：两条相交直线有且只有一个交点v证明 假设结论不成立，即有两种可能：v无交点；不只有一个交点v(1)若直线a，b无交点，那么ab或a，b是异面 直线，与已知矛盾；v(2)若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个 交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线 ，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾 v故假设不成立，原命题正确v例4 已知0x0或 f(x0)x01，由f(x)在1，)上为增函 数，则f(f(x0)f(x0)，v又f(f(x0)x0，x0f(x0)，与假设矛盾，v若x0f(x0)1，则f(x0)f(f(x0)，v又f(f(x0)x0，f(x0)x0也与假设矛盾v综上所述，当x01，f(x0)1且f(f(x0)x0 时有f(x0)x0.v点评 (1)对于f(f(x0)的性质知之甚少， 直接证明有困难，而用反证法，增加了反 设这一条件，为我们利用函数的单调性创 造了可能v(2)反设中有两种情况，必须逐一否定v已知p3q32，求证：pq2.v证明 假设pq2，那么p2q，vp3(2q)3812q6q2q3.v将p3q32代入得，6q212q60，v即6(q1)20.v由此得出矛盾pq2.v一、选择题v1应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下 列哪些作为条件使用( )v结论相反判断，即假设 原命题的结论v公理、定理、定义等 原命题的条件vA BvC Dv答案 Cv解析 由反证法的规则可知都可作为条 件使用，故应选C.v2命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论 的否定是 ( )vA两个内角是直角vB有三个内角是直角vC至少有两个内角是直角vD没有一个内角是直角v答案 Cv解析 “最多只有一个”即为“至多一 个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.v3如果两个实数之和为正数，则这 两个 数( )vA一个是正数，一个是负数vB两个都是正数vC至少有一个正数vD两个都是负数v答案 Cv解析 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.v二、填空题v4“任何三角形的外角都至少有两个钝 角”的否定应是 _v答案 存在一个三角形，其外角最多有 一个钝角v解析 全称命题的否定形式为特称命题 ，而“至少有两个”的否定形式为“至多 有一个”故该命题的否定为“存在一个 三角形，其外角最多有一个钝角”v5和两条异面直线AB、CD都相交的两条 直线AC、BD的位置关系是_v答案 异面v解析 假设AC、BD共面，且AC， BD，则A，B，C，D， AB，CD，这与AB、CD异面矛盾 ，AC、BD异面