数学概念与数学思维 的教学郑毓信 （2014） 近几年的演讲题目 2008：有效的教学，开放的教学； 2009：走进数学思维； 2010：课改背景下的教师专业成长； 2011：数学教学研究：问题与案例； 2012：数学教师的三项“基本功”。 2013：数学课程标准（2011）的“另 类解读”今年的报告 关注点的转移：立足日常教学（家常 课），努力做好“教学实践的理论性 反思”。 主要内容： 一、概念教学应当注意的几个问题； 二、“找规律教学”的若干误区； 三、聚焦专业成长。一、概念教学应当注意的几个 问题 概念对于数学的特殊重要性： 1.“数学知识”的具体内涵： （1）事实性结论（公理定理）； （2）概念（原始概念派生概念）。 2.“数学活动”的基本形式： （1）数学概念的生成、分析与组织； （2）问题的提出与解决。1. 应当清楚地指明概念的具体涵 义相关现象：教学中人们往往只是 注意了如何引导学生通过自主探 究去发现相关对象的性质，却忽 视了还应帮助学生很好地认识与 把握相关概念的准确涵义。例 1 “长方形与正方形特性 ”的教学 教学实录1：学生预习：（1）做一 个长方形。（2）比一比。发现长方 形的特征性质是什么？（3）如何对 此进行验证？（4）你还有哪些发现 ？ 教学实录2：教师在课堂上首先通过 全班讨论指明了这样一点：我们主要 应从角和边这样两个角度去从事平面 图形性质的研究。 教学实录3 然后，在教师的指引下，全班同学又 很快将精力集中到了“如何对相关猜 想进行验证”之上，学生们表现出了 很大的创造力，即是设想出了多种不 同的检验方法，如折一折，用直尺和 量角器量一量，等等，直至最终建立 起了这样的共识：“对边相等”和“四个 角都是直角”是长方形的特征性质。 教学实录4 就正方形特征性质的认识而言，教师 所采取的也是基本相同的方法，即是 集中于相关性质的发现和检验，包括 通过实际动手（选4根小棒围成一个 长方形或正方形等）帮助学生更好地 认识长方形与正方形的特征性质。 问题与思考 长方形与正方形的特征性质真的是量 出来的吗？ 在学生尚未清楚地知道究竟什么是“ 长方形”（和“正方形”）的情况下，就 要求学生通过实际动手去发现两者的 特征性质是否有点“本未倒置”？ 与三角形的类比 在三角形的研究中，我们是如何获得 “等腰三角形两腰相等”这一结论的 ？ 可能的启示（1） 正如三角形的分类，我们在此或许也 应更加重视四边形的分类，也即应当 通过各种四边形的比较将学生的注意 力逐步引向较为特殊的四边形，包括 如何对这些特殊四边形（这不仅指长 方形与正方形，也包括菱形、平行四 边形等）作出明确的定义。可能的启示（2） 正如由等腰三角形的定义我们即可直 接引出“两腰相等”这样一个结论（与 此不同，“等腰三角形两个底角相等” 是证明的结果，即有一个发现和检验 的过程）；我们也可由长方形和正方 形的定义直接引出它们的某些特征性 质。 总之，在此需要的主要是动脑、而不 是外部的操作或动手实践。例2 正方形的认识 教师：“什么是正方形？” 学生：“方方正正就是正方形。” 教师：“什么是方方正正？” 学生：“就是四边相等。” 教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形 是否是正方形？” 学生：“不是，因为它不正。” 教师又在黑板上画一个矩形，问：“ 这是否正方形？” 学生：“不是！因为这个图形不方。” 教师将学生回答得正确的结论 写在黑板上，回答不正确的不写，最 后加以补充总结，抽象出正方形的定 义。例3 “圆的认识”的教学 先前的评论：“圆的半径和直径的性 质事实上也不能被看成动手画一画、 折一折或量一量的直接结果，而是主 要依赖于活动的内化，也即如何能 够让学生借助经验展开数学的想象 ，从而清楚地认识到这一动作可以予 以一般化的特征，如圆的半径都相 等等等。”两个相关的事实（1）在现实世界中我们能否找到 真正的圆？ （2）圆有多少条半径？具体的教学建议 我们是否也可通过“什么是圆？”的具 体讨论帮助学生很好地掌握“圆的定 义”，并由此而引出“圆的半径都相等” 这样一个性质？2. 正确理解数学概念的作用 相关现象：教学中人们往往只是强调 了概念在日常生活中的应用，却忽视 了数学概念还有这样一个十分重要的 作用，即是为我们深入地开展认识活 动提供了必要的理论工具。相关的论述（爱因斯坦） “人们总想以最适当的方式来画出一幅简 化的和易领悟的世界图像；于是他就试图 用他的这种世界体系来代替经验的世界， 并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲 学家和自然科学家所做的，他们都按照自 己的方式去做。理论物理学家的世界 图像在所有这些可能的图像中占有什么地 位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达 到最高标准的严格精确性，这样的标准只 有用数学语言才能做到。”两个十分重要的认识（1）概念：“认识之网”上的结点。 （2）数学：科学的语言。例4 “认识比”的教学 问题与思考：在事先已经学习了“除 法”与“分数”的情况下，我们为什么还 要专门引入“比”这样一个概念？ 相关现象：教材中并普遍地使用了如 下的表格（或其它类似表格）以帮助 学生弄清“比”、“除法”与“分数”这三个 概念之间的联系和区别。但这究竟产 生了怎样的效果？比 前项 后项 比号 比值除法分数关键：不同的研究视角 如果说这正是“除法”与“分数”的主要 区别：分数的引入体现了由“过程”向“ 结果”的转变：在尚未完成计算（除 法）的情况下我们也可用一个确定的 数（分数）表示相关的结果；那么， 这就是引入“比”的主要原因：人们在 此所关注的主要是两个量之间的关系 ，而不十分在意如何能将此归结为一 个确定的数。 相关的事实 现实中的确存在这样的情况，在此有 必要用一个特定的数更为简洁地去表 明两个量之间的比，如路程与时间的 比，成本与利润的比，等等，但是， 这恰恰更为清楚地表明：正是不同的 研究视角（或需要）促使人们分别引 入了“比”、“除法”与“分数”这样三个概 念，包括其它一些附属性的概念，如 “比值”等。 一点提醒 “比”的教学并可被看成小学数学教学 渗透“函数观念”的很好契机。因为， 这正是“函数观念”的核心，即是我们 应当注意分析（变）量之间的关系， 而且，所谓的“正比例函数”又正是最 为简单的函数之一。 例5 “三角形任意两边的和大 于第三边”的教学 问题情境：小明上学时究竟是走中间 的直路较近，还是分别绕道位于直路 两侧的邮局和商店较近？ 相关现象：尽管从一开始被提问的学生就 能立即对上述问题作出正确解答，大多数 学生还能依据“两点间直线最短”对此作出 必要的论证，任课教师却仍然坚持要求学 生用实物（纸条或小棒）对上述结论进行 检验，包括重新提出“三角形任意两边的 和大于第三边”这样一个猜想。在课后的 点评中，还有教师提出：“在此重要的并 非上述的结论，而是要让学生体会发现的 过程。” 问题与思考 什么是真正的探究？什么又是数学教 学中提倡学生自主探究的主要意义？ 在学生几乎可以说已经完全掌握了相 关知识的情况下，我们究竟又应如何 去从事“三角形任意两边的和大于第 三边”的教学？具体建议 在此我们也应更加注重研究的视角， 这就是指，从一开始就应将学生的注 意力引向这样一个问题：我们应从哪 些角度从事三角形的研究？并引导学 生逐步建立起这样一个认识：我们主 要应从角和边这样两个角度从事三角 形的研究。 在形成了这样的共识以后，剩余的工 作就十分简单了：在此需要的只是帮 助学生回忆起“两点间直线最短”这样 一个已有知识，并使用“三角形”的相 关语言对此作出转译或重新表述。 相关的经验（范午英，小学教 学，2013年第12期） “我在黑板上画出两个点B、C，并问 ：同学们，从点B到点C的最短距离 怎么画？学生画出了一条线段。我顺 势画了一条折线，问道：如果走其它 路线，还有更短的吗？为什么？ “两个点之间走直线是最短的，其他 的路线多多少少拐弯了。学生说。 “我在折线的拐点处标出字母A：这就是三 角形ABC，如果不看A点，三角形就可以 看成是B、C之间的一条线段和一条折线 。你有什么发现？BC BAC “折线一定比线段长，即便是微微撑起也 是折线。 “BC一定是最短的，BA+AC一定比BC长 。 “换一个角度看，任何一个三角形都可以 看成是由两点之间的一条线段和一条折线 组成的。 “不费吹灰之力，就得到了下面的结论： 任意三角形的两边之和一定大于第三边。 ” 例 6 “认识方程”的教学 问题与思考：在“认识方程”的教学中 应当如何能够帮助学生很好地认识“ 方程”的作用? 相关事实：由于“认识方程”是学生首 次正式接触到了“方程”这样一个概念 ，因此，在此时就期望学生清楚地认 识方程方法相对于算术方法的优越性 应当说完全不切实际。具体建议 在此我们也应更加突出“方程”所体现 的研究视角：如果说先前的学习主要 集中于如何能够通过具体计算去求得 相应的未知数（“过程操作性观念”） ，那么，这就是“方程”所体现的特殊 视角：我们在此已将分析的着眼点转 向了各个数量之间的等量关系（“结 构性观念”）。关于“=”的具体考察 在算术中我们主要是从“操作（过程 ）的观点”看待“=”的：等号的左边表 明我们应当实施哪些计算，得出的结 果则应写在右边；也正因此，等式的 两边就是不对称的，即有明确的方向 性。与此不同，方程中对于“=”的理解 则体现了这样一种观念：这主要代表 了一种关系：等量关系，其本身也不 具有任何的方向性。 上述的观念对立并可被看成代数思维 与算术思维的主要区别之一。也正因 此，“方程”的教学就可被看成为我们 在小学阶段初步渗透“代数思想”提供 了重要契机。具体的教学建议（1） “认识方程”的教学应当突出“天平”这 样一个比喻。 具体地说，我们可以通过天平在日常 生活中的应用帮助学生初步地领会方 程方法的本质，包括对照天平称重时 的不同情况（等与不等）对相应的算 式作出分类，从而引入方程这样一个 概念。具体的教学建议（2） 在教学中我们并应有意识地引入一些 “非标准变式”，从而帮助学生很好地 实现由“过程（操作）性观念”向“结构 性观念”的重要转变。 具体地说，在给出了“方程”的定义以 后，教师往往会引入如下练习以帮助 学生掌握这一定义，也即要求学生具 体地去判断以下一些式子是否为方程 ：6+x=14, x3=20, 60-48=12, 8+x, y-28=35, 5y+320,相应的“非标准变式” 这首先是指用不同的字母、乃至另外 一些更为复杂的符号表达式或特殊符 号去替代原先经常使用的字母x。如 将4x+7 = 35变形为4y+7 = 35，以及 进一步变形为4（2r+1）+7 = 35， 4*+7=35，等等， 另外一些更为复杂的变式：6=14-3x ， 6+x=14-7x， 25+x= y-28等。3. 注意概念间的联系与区别 应当的思考：我们为什么应当高度重 视概念间的联系与区别？ 理由之一：这正是实现“理解学习”的 关键。相关的论述（J. Hiebert， （3）努力做到“小中见大”，即应以各 个具体课例作为背景并从更为一般的 角度进行分析思考，从而引出具有更 大普遍性的问题和结论。这也正是“ 教学实践的理论性反思”的基本意义 。 2. 教学方法、教学模式与 教学能力 基本认识：相对于教学方法与教 学模式的学习与应用，我们应当 更加重视自身教学能力的提高。 相关的工作：数学教师的“三项基 本功”。例 关于“模式潮”的若干思考 一个新的发展趋势：“外面的世界， 模式潮汹涌澎湃 。” “现在，教育教学都讲究个模式 。有模式，是学校改革成