近近 世世 代代 数数 (Abstract Algebra)(Abstract Algebra)主讲教师 ： 蔡 炳 苓（河北师范大学数学与信息科学学院)第三章 环与域在数学特别是在高等代数中遇到的主要研究对象 ，如数、多项式函数以及矩阵和线性变换等都有 两个代数运算。所以研究带有两个代数运算的代 数系统就很重要了，最基本和重要的代数系统就 是环和域。环论起源于19世纪关于实数的扩张和分类的研究 。J.H.M.Wedderburn于1908给出了研究环结构 的模式；E.Noether于1921提出了诺特环； E.Artin于1927提出了阿廷环，并推广了 Wedderburn定理；N.Jacobson于1945创造了 环的根理论，得到了环的基本且重要的构造定理 。环或域具有两个代数运算，均和群有直接 的联系。研究环时需要注意的是1）利用群的知识来学习环；2）注意环中两个运算之间的联系和分别 所起的作用。3）在环论中有很多公式，其中有好多和 数的运算公式一样，既要注意一样的也要 注意不一样的。第1-2节 加群和环的定义交换环，单位元和零因子一、加群环中有两个运算，分别类似于数的加法和乘 法。为此我们先介绍加群的概念。定义1：假如我们把一个交换群的代数运算 叫做加法，并且用+来表示,则我们称此群为 加群。基本公式以及符号对比（乘）群加群单位元 e(1) ea=ae=aa的逆元a-1 (2) a-1a=aa-1=e(3) (a-1)-1=a(4) (ab)-1=b-1a-1零元 0(1) 0+a=a+0=aa的负元-a (2) (-a)+a=a+(-a)=0(3) -(-a)=a(4) -(a+b)=(-b)+(-a) (4) -(a+b)=(-a)+(-b)基本公式以及符号对比（乘）群加群a的n次方幂an(5) a-n=(a-1)n(6) a0=e(7) aman=am+na的n倍元na(5) (-n)a=n(-a)(6) 0a=0(7) ma+nb=(m+n)a(9) n(a+b)=na+nb(8) (am)n =amn(8) n(ma)=(mn)a(10) a-a=a+(-a)=0定义2：加群的子群称为子加群。注：加群G的非空子集是子加群规规定减法: 则则有移项项法则则:二、环的定义 定义义3 设设是一个非空集合. 上定义义了两个代数运算“+”与“.”关于加法构成一个加群；(3) 乘法对对加法两个分配律成立：则则称为环为环 ,或简简 称为环为环 .(分别别称为为加法与乘法),并且满满足如果在(1)(2) 乘法结结合律成立：例1（1）整数集关于数的加法与乘法构成环.这个环称为整数环.（2）同样,有理数集,实数集,复数集关于数 的加法与乘法构成环.（3）全体偶数做成的集合关于数的加法与 乘法做成环（偶数环）.说明：是一个交换换群.其加法单单位元常用0表示,称为环为环的零元. 设设的加法逆元称为为的负负元， .的零元与的每个元素的负负元都是记记作唯一的.主要性质规规定方幂幂: 设设 , 规规定则则有下列指数法则则: 注意: 如果环环不是交换环换环 , 则则等式一般不成立.环的加法满足的性质足够完美，故研究环 是侧重对其乘法进行研究。一些概念是针 对乘法而言的。定义义4 如果环环的乘法还满还满 足交换换律,为为交换环换环 .中存在元素,使得则则称为为有单单位元的环环,并称为为的定义义5 如果环环单单位元.则称例 2（1）整数集关于数的加法与乘法构成有 单位元的交换环.（整数环） 零元是数0,单位元是数1.（2）同样,有理数集,实数集,复数集关于数 的加法与乘法构成有单位元的交换环.（3）全体偶数做成的集合关于数的加法与 乘法做成交换环，但它没有单位元.零元是数0,单位元是数1.例 3 数集关于数的加法与乘法构成有单单位元的交换环.为为非平方整数, 则则关于数的加法与乘法都构成有单单位元的交换环换环 .这这个环环称为为高斯整环环.类类似地可证证, 如果例 4数域上的全体阶阶方阵阵的集合 关于矩阵阵的加法与乘法上的它的零元为为零矩阵阵, 单单位元为单为单 位矩阵阵.构成环环.这这个环环称为为数域阶全阵环.当时时,这这是一个非交换环换环 , (2)若环有单位元1，则唯一，其单位元 常记作.注:(1)一个环未必有单位元；(3)若环有单位元1，则规定任何非零元的0 次幂为1.定义义 6 设设为为有单单位元的环环,如果存在,使得则则称为为的可逆元,并称 为为的逆元.可逆, 则则的逆元唯一, 且的逆元也可逆.可逆元的唯一的,且逆元记记作注:(1)即使在有单位元的环中，未必每个元都(2)若的可逆元仅仅有1, -1;由于没有单单位元,所以它没有可逆元.可逆当且仅仅当例 7 试试求高斯整环环例 6 的可逆元.例 5 注：设R是一个含有两个以上元素的带有 单位元1的环。则零元和单位元是两个不 等的元素，并且零元没有逆元。注：在一个带有单位元1的环中，若a是可 逆元，则规定 a-n=(a-1)n。为环为环 ,为为的非零元素.，使，则则称的一个左零因子；，使，则则称的一个右零因子. 定义义 7 设设如果存在非零元为为如果存在非零元为为左零因子与右零因子统统称为为零因子.不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正则则元. 注：整数环中没有零因子例8在模n的剩余类集合上定义义则它是一个交换群，叫做模n的剩余类加群；则它做成一个交换环，叫模n的剩余类环，仍记为例如Z6=0,1,2,3,4,5中2 0,3 0,但23=0,此环中有零因子零元为0,单位元为1.例9设设都是的非零元,而,所以分别为别为的左右零因子.注（1）交换环中左右零因子一致；（2）环中若有左（或右）零因子，则它们同时 存在； （3）可逆元一定不是零因子.定义8 一个没有零因子的环称为无零因子环.定理 无零因子环环中,两个乘法消去律都成立；反过来，环中有一个消去律成立，则它是无零因 子的. 定义9：设a是环R非零元。若ab=ac，必有b=c，则称环R满足左消去律；若ba=ca，必有b=c，则称环R满足右消去律。证明 ：推论：环R中左消去律成立当且仅当右消去 律成立。环的性质汇总性质质1. 规规定减法: 则则有移项项法则则:性质质2. 规规定倍数: 设设 , 规规定 则则有倍数法则则:对对任意 性质质3. 设设为环为环 , 则对则对,有性质质4. 规规定方幂幂: 设设 , 规规定则则有下列指数法则则: 性质质5. 广义义分配律: 设设 则则