神奇的函数高一三班 制作： 曾蜀童 陈问歆 邹枘柯 张倩旎 项筱涵 刘伯君 李惟婕函数的起源主讲：刘伯君函数概念的起源 函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形 轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始 逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运 算中，某些量之间存在着一种规律：一个 或几个量的变化，会引起另一个量的变化 ，这种从数学本身的运算中反映出来的量 与量之间的相互依赖关系，就是函数概念 的萌芽。在代数学的方程理论中，对不定 方程的求解，使得人们对函数概念逐步由 模糊趋向清晰。“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世 纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表 示变量x的幂，即x2，x3，.接下来莱布尼茨又将“ 函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切 线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的 变量.就这样“函数”这词逐渐盛行. 在中国，古时候 的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的 意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近 代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天 ，为天之函数.”中国的古代人还用“天、地、人、物 ”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李 善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量 x，则该式子叫做x的函数.”这样，在中国“函数”是 指公式里含有变量的意思. 瑞士数学家雅克柏努意给出了和莱布尼茨相 同的函数定义.1718年，雅克柏努意的弟弟 约翰柏努意给出了函数了如下的函数定义： 由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫 做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所 构成的任一式子都可称之为关于x的函数. 1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些 变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即 当后面这些变量变化时，前面这些变量也 随着变化，我们把前面的变量称为后面变 量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到 欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表 达式、曲线表达式等概念纠缠在一起. 首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义 ：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给 定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而 确定时，则将最初的变数称之为自变数，其 它各变数则称为函数”.在柯西的定义中，首 先出现了“自变量”一词. 1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出 函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对 于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化. 函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给 出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法 .函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知 的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要 性，利用这个关系以求出每一个x的对应值. 1837年德国数学家狄里克雷认 为怎样去建立x与y之间的对应 关系是无关紧要的，所以他的 定义是：“如果对于x的每一个 值，y总有一个完全确定的值与 之对应，则y是x的函数.” 德国数学家黎曼引入了函数的 新定义：“对于x的每一个值， y总有完全确定了的值与之对应 ，而不拘建立x，y之间的对应 方法如何，均将y称为x的函数 .” 上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定 义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数 ，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围 中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了 ，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式. 由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地 ，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并 且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值 与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数 .笛卡尔与函数主讲人：邹枘柯笛卡尔出生于法国都伦的拉哈耶 ，贵族家庭的后裔，父亲是个律 师。他早年受教于拉福累歇的耶 稣会学校。1612年赴巴黎从事研 究，曾于1617年和1619年两次从 军，离开军营后旅行于欧洲，他 的学术研究是在军旅和旅行中作 出的。 自从欧几里德的几何原本问世以来，人们一直把代数限定在研究数及其关系的 范畴内，把几何限定在研究位置和图形的范畴内。代数和几何截然分家持续了几千 年，犹如两座高山被万丈深渊分割 。怎样连接代数和几何的桥梁将“数”和“形”紧密联系在 一起 ？1619年， 23岁的笛卡尔在一支德国部队 服役，军营驻扎在多瑙河旁，11月的一天 ，他因病躺在了床上，无所事事的他默默 地思考着他思考着，计算着，病中的 他睡着了梦中他继续在数学 的广阔天地中驰骋，好像悟出了 什么，又看到了什么，大梦醒来 的笛卡尔茅塞顿开，一种新的思 想初露端倪：在互相垂直的两条 直线下(平面直角坐标系的雏形） ，一个点可以用到这两条直线的 距离，也就是两个数来表示，这 个点的位置就被确定了。用数形 结合的方式将代数与几何的桥梁 联起来了。 他想到了这个问题抬头望着天花板，一只小小的蜘蛛从墙角 慢慢地爬过来，吐丝结网，忙个不停。从东爬到西，从南爬到北 。要结一张网，小蜘蛛该走多少路啊！笛卡尔突发奇想，算一算 蜘蛛走过的路程。他先把蜘蛛看成一个点，这个点离墙角多远？ 离墙的两边多远？有一天，瑞典的公主克里斯丁看到了他会算 算数，两个人聊得很投机，于是把他接到宫 里作为数学老师 然后，日久生情（最古老的师生恋？）法国发生黑死病期间，笛卡尔为了躲避感染上疾病在 ，流浪到瑞典。 在瑞典，他作为街头的乞丐，但不弹琴，只是在地上 算算数 2020多年后。多年后。可是，国王看不懂那封信 的含义。 国王叫了很多大臣来，他 们也看不懂 最后没有办法，将最后一 封信给了公主 公主看完了以后，泪流满 面。不过，国王知道了这件事后十分震怒，把笛卡尔送回法国 在法国，笛卡尔很不幸的染上了黑死病 于是，他就给克里斯丁公主写信，一共写了12封，但都被国 王没收了 直到笛卡尔预感生命即将结束的时候，寄出了最后一封函数与数学家主讲人：张倩旎伽利略n十七世纪伽俐略(GGalileo， 意大利，15641642)在两 门新科学一书中，几乎从头 到尾包含着函数或称为变量的 关系这一概念，用文字和比例 的语言表达函数的关系. 牛顿n1673年前后笛卡尔 (Descartes，法，1596 1650)在他的解析几何 中，已经注意到了一个 变量对于另一个变量的 依赖关系，但由于当时 尚未意识到需要提炼一 般的函数概念，因此直 到17世纪后期牛顿、莱 布尼兹建立微积分的时 候，数学家还没有明确 函数的一般意义，绝大 部分函数是被当作曲线 来研究的. 笛卡尔笛卡尔莱布尼茨、约 翰贝努利n最早提出函数（function）概念的，是 17世纪德国数学家莱布尼茨.最初莱布 尼茨用“函数”一词表示幂.以后，他又 用函数表示在直角坐标系中曲线上一 点的横坐标、纵坐标.1718年，莱布尼 茨的学生约翰贝努利 (BernoulliJohann，瑞士，1667 1748) 在莱布尼兹函数概念的基础上 ，对函数概念进行了明确定义：“由某 个变量及任意的一个常数结合而成的 数量.”意思是凡变量x和常量构成的式 子都叫做x的函数，他强调函数要用公 式来表示. 莱布尼茨莱布尼茨n1755年，欧拉(LEuler，瑞士 ，17071783) 把函数定义为 ：“如果某些变量，以某一种方 式依赖于另一些变量，即当后 面这些变量变化时，前面这些 变量也随着变化，我们把前面 的变量称为后面变量的函数.”并 给出了沿用至今的函数符号 .n n1821年，柯西(Cauchy，法国，1789 1857) 给出了类似现在中学课本的 函数定义：“在某些变数间存在着一 定的关系，当一经给定其中某一变数 的值，其他变数的值可随着而确定时 ，则将最初的变数叫自变量，其他各 变数叫做函数.” 在柯西的定义中， 首先出现了自变量一词. 狄利克雷n1837年狄利克雷(Dirichlet，德 国，18051859) 认为怎样去建 立x与y之间的关系无关紧要，他 拓广了函数概念，指出：“对于 在某区间上的每一个确定的x值 ，y都有一个或多个确定的值， 那么y叫做x的函数.”狄利克雷的 函数定义，出色地避免了以往函 数定义中所有的关于依赖关系的 描述，简明精确，以完全清晰的 方式为所有数学家无条件地接受 .至此，我们已可以说，函数概 念、函数的本质定义已经形成， 这就是人们常说的经典函数定义 . n等到康托尔(Cantor，德，18451918)创立的集 合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数 概念就是现在高中课本里用的了. 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词.是我国 清代数学家李善兰在翻译代数学（1895年） 一书时，把“function”译成“函数”的. 中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意 思.李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之 函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4 个不同的未知数或变量.这个定义的含义是：“凡 是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”所 以“函数”是指公式里含有变量的意思. 函数概念的发展历史主讲人：陈问歆十七世纪伽俐略(GGalileo，意，15641642)在两门新科学一书中，几乎 全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系 。1637年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意 到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因 此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义， 大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用 “function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、 切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流 量”来表示变量间的关系。 十八世纪函数概念1718年约翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，16671748)在莱布尼兹函数 概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的 量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公 式来表示。 1748年，柏努利的学生欧拉在无穷分析引论一书中说：“一个变 量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。 1755，欧拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函数定义为“如果某些变量，以某 一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变 化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 早期函数概念18世纪中叶欧拉(LEuler，瑞士，17071783)给出了定 义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任 何方式组成的解析表达式。”他把约翰贝努利给出的函数 定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越 函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数 定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 十九世纪函数概念1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 从定义变 量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当 一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定 时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。” 在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函 数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系 可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。 1822年傅里叶（Fourier，法国，17681830）发现某 些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多 个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表 示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次837年狄利克雷(Dirichlet，德国，18051859) 突破了这一局限， 认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指 出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那 么y叫做x的函数。”这