June, 2008建筑力学ARCHITECTURAL MECHANICS第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学力的定义 力是物体间相互间的机械作用。力的效应 使物体的机械运动状态发生改变，叫做力的运动 效应或外效应。使物体的形状发生改变，叫做力的变形效应或 内效应。 力的三要素 力的大小、方向、作用点称为力的三要素。力的表示法 力是一个矢量，用带箭头的直线段来表示，如右图所示（虚线为力的作用线）。第 3 章 力系简化的基础知识 3-0 预备知识复习力的单位：力的国际单位是牛顿(N)或千牛顿（kN）。 建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识矢量、标量、代数量物理量矢量，其分量仍为矢量，其投影为代数量，具有双向特征。标量算数量，纯标量，如质量，温度代数量，如电荷，电压，电流，功，功率 ，力矩，角力矩等矢量：既有大小又有方向，而且相加减时遵从平行四边形运算法则川。如速度v， 力F，电场强度等。 标量：有大小和正负，但不满足平行四边形运算法则。如质量，电量，电压和电 流等，有些标量为非负数，有的可正负，因此标量又可分为算术量和代数量。 代数量：所谓代数量就是描述两种可能状态的物理量，因而这两种状态具有非此 即彼的特征。代数量又称双向标量，有两种可能方向的标量称为双向标量。建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识用代数量进行运算时，必须先引入一个参考正方 向的概念，有了正方向，就可以把代数量的实际 方向与之相比较，当两者方向相同时，代数量为 正，当两者方向相反时，代数量为负。对于待求 的代数量，则只需假定一个正方向，运算得出的 结果为非负数，则表示该待求量的实际方向与参 考正方向相同，否则相反。矢量投影变为一组代数量，有大小、还有正负。建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识在量与量的计算中，纯标量间的运算没有多少物理 意义，而矢量间的运算，无论是加减、乘除或微积 分，在运算时都必须考虑方向，这样给矢量之间和 各种运算带来诸多不便。(l)两力合成时，为什么不能将其数值直接相加，而应运用平行四边形定则求解。(2)为什么同是两矢量相乘，结果却可能为标量， W=FS，也可能为矢量M=rF。建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识物理量分类可以将物理量重新分为三大类：(l) 标量：只有大小无方向或正负之分的物理量如质量、时间等。(2) 矢量：既有大小又有方向的物理量。如：力、位移、动量等。(3) 代数量（Alegbraic Quantities）：介于标量和矢量之间的一种物理量，其又分为三类： 第一类代数量(纯代数量)：既有大小，又有正负。如功、功率等；第二类代数量(角代数量)：既有大小，又有旋转方向。如：力矩、角速度等；第三类代数量(线代数量)：即投影量，既有大小，又有沿某轴线的单 一方向。如沿两正交x、y轴的速度Vx，Vy，力Fx，Fy投影等。建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识代数量运算法则(l) 同一类代数量间进行加减、微积分运算，结果仍为该类型代数量。(2)（矢量点乘，标积）沿同一轴的两个线代数量的乘积为纯代数量，当两线代数量同向时，所得纯数量为正，反之为负，如功 W=Fs(式中已将力投影到s方向上，F、s成为两同轴数量)。(3)（矢量叉乘）沿相互垂直轴的两个线代数量的乘积，结果为角代数量。所得角量的旋向或转向遵从右手法则。如力距 Mr=rF。(4)不同类型代数量之间不能运算.(5)代数量与标量之间能进行乘法，微分运算，其结果仍为同类型代数量；但不能进加减运算。建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识代数量与矢量之间的转化(l) 纯代数量与矢量之间不能相互转化；(2) 角代数量与矢量可相互转化，并遵守右手定则。如图 1为代数量M和矢量M之间的互化；(3)线代数量与矢量可相互转化，并遵循投影法则。如图 2为矢量F和代数量Fx、Fy之间的互化。图1 图2建筑力学力系的定义 作用于同一个物体上的一组力。 力系(System of forces )的分类 各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系；各力的作用线不在同一平面内的力系称为空间力系。第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学（2）平面力偶系：若干个力偶(Couple)（一对大小相等、指向相反、作用线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。平面力系的分类（1）平面汇交力系：各力作用线都汇交于同一点的力系。第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学平面力系的分类（3）平面平行力系：各力作用线平行的力系。 （4）平面一般力系：平面汇交力系、平面力偶系、 平面平行力 系之外的平面力系。各力作用线既不汇交又 不平行的平面力系。第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学等效力系 (Equivalent force system ) 指两个力(系)对物体的作用效果完全相同。平衡力系(Equilibrium force system ) 力系作用下使物体平衡的力系。合力与分力若一个力与某一个力系等效。则该力称为该力系的合力，而力系中的各个力称为该合力的一个分力。第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识对所有的力系均讨论两个问题：1、力系的简化（即力系的合成）问题；2、力系的平衡问题。建筑力学设任意的力F1、F2、F3、F4 的作用线汇交于A 点，构成一个平面汇交力系。由力的平行四边形法则，可将其两两合成，最终形成一个合力FR ，由此可得结论如下：AF2F1F4F3平面汇交力系的合成与平衡（几何法）1、平面汇交力系的合成结果是一个合力FR；合力的大小与方 向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点 。 2、平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系合力FR = 0。3、平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形自行 封闭。FR第 3 章 力系简化的基础知识3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则(求合力矢量的 力多边形法则)矢量相加的交换律。建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识力F在某轴x上的投影，等于力F的大小乘 以力与该轴正向夹角的余弦，记为Fx， FxFcos力在轴上的投影是代数量。当力矢量与轴 的正向夹角为锐角时，此代数值取正，反之为负。如果已知力F在两个正交轴上的投影Fx和Fy，则该力的大小和方向可由下式确定， FxFcos FyFcos 式中和分别为力F与x轴和y轴正向的夹角。参见下帧图。建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识力F沿正交的x轴和y轴分解为两个分力Fx和Fy时，大小恰等于力F在这 两个轴上的投影Fx和Fy的绝对值。但当x,y两轴不相互垂直时，则沿两轴的分力Fx和Fy ，在数值上不等于 力F在此两轴上的投影Fx和Fy。注意：力F在轴上的投影Fx和Fy是代数量； 力F沿轴方向的分量Fx和Fy是矢量。建筑力学力F在坐标轴上的投影Fx,Fy 已知合力求分力：力F在坐标轴上的投影已知分力求合力：当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出 力 F 的大小和方向第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学例1 试求图中各力在轴上的投影，投影的正负号按规定观察判定。第 3 章 力系简化的基础知识力投影的要点：力平移，力在坐标轴上投影不变；力垂直于某轴，力在该轴上投影为零；力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对值为力的大小。建筑力学解 ：第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识合力投影定理右图表示平面汇交力系的各力 F1，F2，F3、F4组成的力多边 形，FR为合力。将力多边形中 各力矢投影到任选的x轴上。由图易知有下式成立按力在轴上投影的定义，上式左端项为合力FR在x轴上的投 影，右端项为力系中四个力在x轴上投影的代数和，即FRx=Fx1+Fx2+Fx3+Fx4建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识 推广到任意多个力的情况，即得到合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于它的 各分力在同一轴上的投影的代数和。合力投影定理建立了合力在轴上的投影与各分力在同 一轴上的投影之间的关系。建筑力学对于由n个力F1、F2、 Fn 组成的平面汇交力系，由合力投影定理可得合力在x,y轴上的投影：第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识 1平面汇交力系合成的解析法设由n个力组成的平面汇交力系作用 于一个刚体上，建立直角坐标系Oxy ，如图所示。此汇交力系的合力FR的解析表达式为FRx，FRy为合力FR在x,y轴上的投影。i,j 分别为x,y轴的单位矢量。建筑力学从而，平面汇交力系的合力R的大小和方向余弦为：第 3 章 力系简化的基础知识式中和分别为合力FR与x轴和y轴的正向夹角。应用上述公式计算合力大小和方向的方法，称之为平 面汇交力系合成的解析法。建筑力学从而得平面汇交力系的（解析）平衡条件为：平面汇交力系的平衡 平面汇交力系平衡的充要条件：该力系的合力等于零，即力 系中各力的矢量和为零。 当物体处于平衡状态时，平面汇交力系的合力FR必须为零，上式的含义为：力系中各力在 x， y轴上投影的代数总和 必须等于零。 方向上的力的总和必须等于零。第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形是自身封闭的力多边形。 即力系中各力首尾相连构成的力多边形是自行封闭的。该表述与合力矢量FR=0平面汇交力系平衡条件完全相当。力系处于平衡状态时，力多边形中最后一个力的终点与第一力的起点重合，此时力多边形为封闭的力多边形。第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学运用平衡条件求解未知力的步骤为：1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；2、由平衡条件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的力为正。即 水平力向右为正，垂直力向上为正。平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学第 3 章 力系简化的基础知识约束力命名时的一些习惯柔体约束力：FT, FT1, FT2,；光滑接触面约束力：FN?,下标 ？代表接触点位置代号。铰链、固定支座约束力：F？x, F?y , 下标 ？代表铰位置代号 。如FAx, FAy，；滚动铰支约束力：FN？或 F?y , F?x 下标 ？代表铰位置代号 。如FNA, FAy，；二力杆力：F？?， FN？或 FN？? , 下标 ？代表二力杆某一端 点或两端点代号。第一个？为本地端点，第二个为另一端 端点。建筑力学例 图示三角支架，求两杆所受的力。解：取B节点为研究对象，画受力图F由 FY = 0 ，建立平衡方程：由 FX = 0 ，建立平衡方程：解得：负号表示假设的指向与真实指向相反。解得：FNBCFNBA第 3 章 力系简化的基础知识XY建筑力学例 2 图(a)所示体系，物块重 F = 20 kN ，不计滑轮的自重和半径，试求杆AB 和BC 所受的力。解：第 3 章 力系简化的基础知识1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。二力杆？建筑力学2、列出平衡方程：解得：反力FNBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。 由 FY = 0 ，建立平衡方程：解得：由 FX = 0 ，建立平衡方程：第 3 章 力系简化的基础知识建筑力学平衡汇交力系求解未知力例题 例 如图所示，重力P20 kN， 用钢丝绳挂在铰车D及滑轮B上。A ，B，C处为光滑铰链连接。钢丝 绳、杆和滑轮的自重不计，并忽 略摩擦