第二课时 直线与平面垂直及直线与平面所成的角学习习目标标1.掌握直线线与平面垂直的定义义与判定定理及性质质定理，并能灵活应应用判定定理证证明直线线与平面垂直；2知道直线线与平面所成角的概念，并能解决简单简单 的线线面角问题问题 课堂互动讲练知能优化训练第二课时 直线与平面垂直及直 线与平面所成的角课前自主学案课前自主学案温故夯基1直线线与平面的位置关系：_、_、_2两条异面直线线所成的角为为_时时，两直线线垂直线线在面内线线面平行线线面相 交90知新益能1直线线与平面垂直 (1)定义义：如果直线线l与平面内的 _直线线都_，就说说直线线l与平面 互相垂直.记法垂线垂面垂足 ll惟一公共点P任意一条 垂直1.若一条直线线与平面内的无数条直线线垂直，则这则这 条直线线和这这个平面垂直吗吗？为为什么？提示：不一定垂直例如，a1a2a3，且a1，a2，l与这这组组平行直线线垂直，有可能直线线l在这这个平面内思考感悟 (2)判定定理 文字表述：一条直线线与一个平面内的两 条_直线线都垂直，则该则该 直线线与此平面 垂直a， b abP相交2定理中若去掉abP，结论还结论还 成立吗吗？提示：不一定，如图图正方体中，a，b，la，lb，但l，故定理中的“两条相交直线线”是不可缺少的条件(3)直线线与平面垂直的性质质定理平行ab2.距离(1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线线，这这个点和_间间的距离，叫做这这个点到这这个平面的距离(2)直线线到平面的距离：一条直线线和一个平面平行，这这条直线线上_到这这个平面的距离，叫做这这条直线线和这这个平面的距离垂足任意一点3直线线与平面所成的角(1)定义义：平面的一条斜线线和它在平面上的_所成的_，叫做这这条直线线和这这个平面所成的角射影锐锐角如图图，_就是斜线线AP与平面所成的角(2)当直线线AP与平面垂直时时，它们们所成的角是_(3)当直线线与平面平行或在平面内时时，它们们所成的角是_.(4)线线面角的范围围是_.PAO直角0090课堂互动讲练线面垂直的判定考点突破应用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂 直，是证明直线与平面垂直的最主要方法 充分利用条件寻找平面中的两条相交直线与 已知直线垂直是问题得到解决的关键在题 目中若没有现成的垂线，则作相应的辅助线 来帮助解决如图图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为为DD1的中点，O为为ABCD 的中心，求证证：B1O平面PAC.例例1 1【思路点拨拨】 要证证B1O平面PAC，只 需证证B1O垂直于平面PAC中的两条相交直 线线【名师点评】 利用直线与平面垂直的判 定定理判定直线与平面垂直的步骤是： 在这个平面内找两条直线，使它们和已知 直线垂直；确定这个平面内的两条直线 是相交的直线；根据判定定理得出结论 变变式训练训练 1 如图图所示，四边边形ABCD为为 正方形，SA垂直于四边边形ABCD所在的平 面，过过点A且垂直于SC的平面分别别交SB， SC，SD于点E，F，G.求证证：AESB， AGSD.线面垂直的性质的应用线面垂直的性质定理的实质是实现了由线面垂直向线线垂直的转化(本题满题满 分14分)如图图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点【思路点拨拨】 对对于(1)要证证明线线线线 平行，要先证线证线 面垂直，即证证AD1平面A1DC.对对于(2)可利用平行的传递传递 性加以证证明例2【名师师点评评】 若已知一条直线线和某个平面垂直，证证明这这条直线线和另一条直线线平行，可考虑虑利用线线面垂直的性质质定理，证证明另一条直线线和这这个平面垂直，证证明时时注意利用正方形、平行四边边形及三角形中位线线的有关性质质变变式训练训练 2 如图图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，EA1D，FAC，且 EFA1D，EFAC. 求证证：EFBD1.直线与平面所成的角求直线与平面所成的角，关键是找到直线在 该平面内的射影，继而构成一个三角形，求角 的大小例例3 3【思路点拨拨】 首先应应想到A，B两点与 平面的位置关系有两种情形：A，B位 于的同侧侧；A，B位于的异侧侧，应应按 这这两种情形来解答直线线AB与平面所成角 的大小当点A，B位于平面的异侧时侧时 ，如图图，由 点A，B分别别向平面作垂线线，垂足分别为别为 A1 ，B1.AB与A1B1交于点C，A1B1为为AB在平面 内的射影所以BCB1或ACA1为为直线线AB 与平面所成的角在RtBCB1中，BB12 ，【名师师点评评】 (1)根据问题问题 的具体情况，想到问题问题 可能出现现的各种情况，然后分类处类处 理(2)求直线线与平面所成的角，一般是先定斜足，再作垂线线找射影，最后通过过解直角三角形求解(3)寻寻找斜线线在平面内的射影是解决斜线线和平面所成角问题问题 的关键键变变式训练训练 3 已知三棱锥锥S ABC中，底面 ABC为边长为边长 等于2的等边边三角形，SA垂直 于底面ABC，SA3，那么直线线AB与平面 SBC所成角的正弦值为值为 _方法感悟1线线线线 垂直、线线面垂直是立体几何的核心内容之一由线线线线 垂直可判定线线面垂直，由线线面垂直又可判定出线线线线 垂直，这这种“线线线线 线线面线线线线 ”之间间的垂直关系的相互转转化，是线线线线 、线线面垂直关系的判定的实质实质 ，也是我们们运用定理对对垂直进进行证证明的关键键所在2当我们们学习习了直线线和平面平行、直线线 和平面垂直之后，解决大量的线线线线 平行和 线线线线 垂直就有了新方法在应应用过过程中我 们们又发现发现 ，线线面关系作为为中间间步骤骤起传传 递递作用，解决问题时问题时 ，我们们要学会找平面 为为媒介另外，我们还们还 可以采用分析法， 转换证转换证 明角度 3证证明线线线线 垂直的方法，常结结合具体的 几何图图形，如构建出直角三角形，矩形， 等腰三角形等在具体的几何图图形中，可 根据所给给条件进进行判断，选选取合适的证证明 途径